Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Какова мощность множества функций
СообщениеДобавлено: 07 янв 2024, 22:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 янв 2024, 22:26
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какова мощность множества всех функций, определенных на множестве N натураль-
ных чисел и принимающих рациональные значения? Обоснуйте

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Какова мощность множества функций
СообщениеДобавлено: 07 янв 2024, 23:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6016
Cпасибо сказано: 132
Спасибо получено:
1023 раз в 968 сообщениях
Очков репутации: 69

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а че в книжках то пишут? или фигня это книги всякие

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Какова мощность множества функций
СообщениеДобавлено: 07 янв 2024, 23:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2579
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
741 раз в 696 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может быть полезной теорема 4 из книги Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. 4-е изд. М.: МЦНМО, 2012.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Какова мощность множества функций
СообщениеДобавлено: 08 янв 2024, 00:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1748
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IMHO так:
Множество значений аргумента - мн-во натуральных чисел (счетное), множество значений функции - множество рациональных чисел (счетное)
Счетное мн-во счетных множеств является счетным множеством.
Следовательно, мн-во всех функций из условия задачи - счетное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Какова мощность множества функций
СообщениеДобавлено: 08 янв 2024, 00:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6016
Cпасибо сказано: 132
Спасибо получено:
1023 раз в 968 сообщениях
Очков репутации: 69

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IIIMEJIb
списывайте скорее, что Exzellenz написал, а то чувствую сейчас напишут про его решение что-нибудь нехорошее))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Какова мощность множества функций
СообщениеДобавлено: 08 янв 2024, 00:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2579
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
741 раз в 696 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Счетное мн-во счетных множеств является счетным множеством.
В задаче говорится не о [math]\mathbb{Q}_1\cup\mathbb{Q}_2\cup\ldots[/math], где [math]\mathbb{Q}_i[/math] — это непересекающиеся копии множества рациональных чисел, а о [math]\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\times\ldots[/math]

MihailM писал(а):
сейчас напишут про его решение что-нибудь нехорошее
Да. закон Каннингема.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Какова мощность множества функций
СообщениеДобавлено: 08 янв 2024, 12:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 янв 2024, 22:26
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
IMHO так:
Множество значений аргумента - мн-во натуральных чисел (счетное), множество значений функции - множество рациональных чисел (счетное)
Счетное мн-во счетных множеств является счетным множеством.
Следовательно, мн-во всех функций из условия задачи - счетное.

Я тоже сначала интуитивно так подумал, но таки да, это не счетное объединение счетных множеств. То что оно не счетно я уже вроде доказал, но просят еще доказать что мощность не больше континуума.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Какова мощность множества функций
СообщениеДобавлено: 08 янв 2024, 17:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2579
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
741 раз в 696 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чтобы доказать, что [math]\aleph_0^{\aleph_0}\le2^{\aleph_0}[/math], можно построить инъекцию, похожую на ту, которая описана в теореме 5 из книги Верещагина и Шеня. Там доказывается, что [math]2^{\aleph_0}\times2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}[/math], и из двух последовательностей нулей и единиц строится одна, где элементы исходных последовательностей чередуются. Если брать [math]\aleph_0^{\aleph_0}[/math], то каждое натуральное число из области значений можно закодировать конечной последовательностью нулей и единиц, и счетное множество таких последовательностей нужно закодировать в одну бесконечную последовательность. Это можно сделать, даже если исходные последовательности бесконечные. Здесь как раз используется равенство [math]\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0[/math]: если [math]f\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}[/math] есть биекция, то [math]n[/math]-й элемент [math]k[/math]-й исходной последовательности записывается в [math]f(n,k)[/math]-й элемент единой результирующей последовательности.

Альтернативно можно доказать свойства арифметики кардиналов, и тогда [math]\aleph_0^{\aleph_0}\le(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\times\aleph_0}=2^{\aleph_0}[/math]. Это описано на с. 39-40 в той же книге Верещагина, Шеня.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Какова мощность множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

stepanletyagin

29

2042

13 ноя 2019, 00:33

Мощность множества функций

в форуме Теория чисел

rain_walker

5

322

04 ноя 2021, 14:21

Мощность множества всех функций, определенных на множестве Q

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

qwqw

1

750

26 янв 2016, 15:20

Мощность множества

в форуме Теория чисел

duducai007

1

444

15 мар 2014, 22:13

Мощность множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

LemonLemon

7

1473

24 июн 2014, 11:00

Мощность множества |SL|?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

MrKreter

1

165

28 май 2021, 17:33

Мощность множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dona_9

5

356

28 май 2016, 16:44

Мощность фактор-множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

briz

9

2667

17 дек 2015, 09:06

Найти мощность множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

melika

5

1140

22 апр 2016, 16:36

Определить мощность множества

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Linux_Gamer

4

192

11 апр 2021, 07:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved