Неправильное доказательство о связи Римана с Лебегом

Учебник Колмогоров Фомин "Функциональный анализ " 326 страница.
Зачем? Если каждый элемент последовательности *f с чертой сверху*[math]_{n}[/math](x) является простой функцией, следовательно, интегрируем по Лебега. Интеграл по лебега каждого элемента по опредедению равен [math]\Omega _{n}[/math]. И предел интегралов по лебега этих элементов при n стремящимся к бесконечности является по определению интегралом Лебега функции f, если эта последовательность равномерно сходится к f. Последнее утверждение здесь не доказано. Но если оно верно, то интеграл по лебега фунции f равен [math]\lim_{n \to \inf } \Omega _{n} = I[/math] чтд.