Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
СообщениеДобавлено: 14 сен 2022, 22:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 апр 2022, 15:20
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функциональный анализ. Метрические пространства.

Только начали изучать основы, не могу понять какой дальше алгоритм действий. Пробовал искать производную от последнего выражения которое в модуле, получается ещё большее выражение
с которым неизвестно что делать.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
СообщениеДобавлено: 14 сен 2022, 23:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Elisei писал(а):
получается ещё большее выражение
с которым неизвестно что делать.

я подскажу, его надо приравнять к нулю и найти корни полученного уравнения

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Elisei
 Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
СообщениеДобавлено: 15 сен 2022, 00:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще-то в условиях задачи ничего не сказано о характере метрики. Было бы естественнее считать в пространстве функций, интегрируемых с квадратом.
Ну да ладно, допустим метрика как в вашем решении.
И в чем же проблема?

[math]f_1(x)=\frac{x^3}{(x+1)^2}; f_2(x)=\left( 1-\frac{1}{x+1} \right)^2=\frac{x^2}{(x+1)^2}[/math]

[math]U(x)=f_2(x)-f_1(x)=\frac{x^2(1-x)}{(x+1)^2}.[/math]

На отрезке от 0 до 1 эта функция неотрицательна, поэтому модуль можно опустить и просто искать максимум [math]U(x)[/math] стандартным способом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали:
Elisei
 Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
СообщениеДобавлено: 15 сен 2022, 01:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]U'(x)=\left(\frac{x^2-x^3}{x^2+2x+1}\right)';[/math] числитель производной равен [math](2x-3x)^2(x^2+2x+1)-(x^2-x^3)(2x+2)=x(x+1)(x^2+3x-2)=0[/math]

Интересующий нас корень [math]x_0=\frac{\sqrt{17}-3 }{2},[/math] и расстояние [math]\varrho =U(x_0) \approx 0,0567[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали:
Elisei
 Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
СообщениеДобавлено: 15 сен 2022, 11:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 апр 2022, 15:20
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
На отрезке от 0 до 1 эта функция неотрицательна, поэтому модуль можно опустить и просто искать максимум U(x)
U(x)
стандартным способом.


Вдвойне благодарен за подробный ответ, очень помогло разобраться!

Изображение

Единственное, не совсем понятно, что меняется в алгоритме решения задачи в зависимости от вариации этого условия: [math]\mathsf{C} \left[ 0, 1 \right][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
СообщениеДобавлено: 15 сен 2022, 12:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если изменить область определения, то максимум может уйти на границу области.
Например, для [math]C[0;2][/math] максимум будет при [math]x=2[/math] - см. на рисунке график [math]U(x)[/math], и расстояние станет равным [math]|U(2)|=\frac{4}{9}[/math]

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали:
Elisei
 Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
СообщениеДобавлено: 15 сен 2022, 12:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 апр 2022, 15:20
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Огромное спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Метрические пространства. Найти расстояние между функциями
СообщениеДобавлено: 15 сен 2022, 12:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
You are welcome!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали:
Elisei
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти расстояние между функциями

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

dadessm

3

1112

25 ноя 2018, 19:45

Не метрические пространства

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Knyazhskiy

13

538

09 авг 2016, 18:49

Метрические пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vladislavic94

2

261

16 дек 2020, 16:58

Метрические нормированные полные и сжимающие пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ur licoris

0

183

14 сен 2021, 13:25

Найти расстояние между прямыми АВ и СD.

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Tanya_1995

4

1080

03 май 2014, 15:47

Найти расстояние между директрисами гиперболы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

vermihel

1

231

06 дек 2021, 17:27

Найти кратчайшее расстояние между прямыми

в форуме Дифференциальное исчисление

ExtreMaLLlka

5

1410

21 июл 2017, 10:52

Найти расстояние между точкой и плоскостью

в форуме Геометрия

Oarf

5

502

18 ноя 2014, 20:24

Найти расстояние между двумя соседними нулями

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

lllulll

7

1289

01 ноя 2015, 14:49

Найти параметр k и расстояние между фокусами двух кривых

в форуме Геометрия

DaniilMP3

3

306

10 дек 2022, 22:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved