Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Опишите пространство V1 для всплесков Уиттекера-Шеннона
СообщениеДобавлено: 25 июн 2022, 14:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 июн 2022, 13:04
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, уважаемые форумчане. Возник следующий вопрос, точнее задача: необходимо описать пространство [math]V_{1}[/math] для вейвлетов Уиттекера-Шеннона-Котельникова. Хотел бы знать, в данном случае верны ли мои шаги.

Для начала помним, что из свойств КМА [math]V_{0} \subset V_{1}[/math]. Пусть [math]V_{0}[/math] - пространство функций из [math]L_{2}(\mathbb{R})[/math], порожденное системой сдвигов масштабирующей функции [math]\{\varphi(x-n), n \in Z\}[/math]. Известно, что любой элемент пространства [math]V_{0}[/math] может быть представлен в данном случае (для подобных всплесков) в виде ряда:

[math]f(x) = \sum_{n \in Z} c_{n} {\frac{\sin \pi(x-n)}{\pi(x-n)}} .[/math]


Возьмем преобразование Фурье данной функции:

[math]f(\omega) = \sum_{n \in Z} c_{n} e^{-i\omega n} \chi_{-\pi, \pi}(\omega).[/math]


где [math]\chi_{-\pi, \pi}[/math] есть характеристическая функция на отрезке [math][-\pi, \pi][/math].

Полученная функция [math]f(\omega)[/math] является функцией из [math]L_{2}(\mathbb{R})[/math] с носителем на промежутке [math][-\pi, \pi][/math]. По свойствам КМА путем масштабирования получаем, что масштабирующая функция вейвлета [math]V_{0} \subset \ldots \subset V_{j}[/math], т.е. из пространства [math]j[/math]. Таким образом, преобразования Фурье масштабирующих функций Уиттекера-Шеннона-Котельникова являются характеристическими функциями, носитель которых принадлежит промежутку [math][-2^{j}\pi, 2^{j} \pi][/math].

Значит, наша масштабирующая функция из [math]V_{1}[/math] в частотной области принимает вид:

[math]\varphi(\omega) = \left\{\!\begin{aligned}
& 1 \quad \omega \in [-2\pi, 2\pi] \\
& 0 \quad \omega \in \backslash [-2\pi, 2\pi]
\end{aligned}\right.[/math]


Находим обратное преобразование Фурье:

[math]\frac{1}{2\pi}{\int_{-\infty}^{\infty}f \! \left(\omega \right) {\mathrm e}^{i \omega x}d \omega} = \frac{\sin \! \left(2 \pi x \right)}{x \pi}[/math]
.

Таким образом, наша базисная масштабирующая функция принимает вид:

[math]\varphi(x) = \frac{\sin \! \left(2 \pi x \right)}{x \pi}.[/math]


В пространстве [math]V_1[/math] КМА Уиттекера-Шеннона-Котельникова базис образуют функции [math]\varphi_{1,n}\left(x\right)[/math]. Эта система ортогональная и нормированная, то есть ортонормированная. Любая функция[math]f\in V_1[/math] раскладывается по данному базису, то есть:

[math]f\left(x\right)=\sum_{n\in Z}{c_n\varphi_{1,n}\left(x\right)}[/math]


Таким образом опишем наше пространство:

[math]\Big \{ f\in\ L^2\left(\mathbb{R}\right):f\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\frac{\sin \,{2\pi}\left(x-n\right)}{\pi\left(x-n\right)} \Big \}.[/math]


Правильно ли в данном случае описано пространство [math]V_{1}[/math] для всплесков Уиттекера-Шеннона-Котельникова?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение Шеннона

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Dragon Ninja

0

341

14 сен 2014, 13:54

Задача на формулу Шеннона

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

IgoreKMaN

0

256

07 дек 2014, 21:43

Опишите модели электронных облаков атома водорода

в форуме Атомная и Ядерная физика

usovousovo

0

91

20 дек 2022, 18:29

Пространство

в форуме Геометрия

maksim-maksim

30

691

07 июл 2020, 10:02

Четномерное пространство

в форуме Палата №6

Senia

13

1152

04 окт 2015, 00:51

Линейное пространство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mosthub

8

648

22 ноя 2017, 03:35

Линейное пространство R2

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Kosta

1

920

23 сен 2015, 20:10

Векторное пространство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

md_house

1

306

09 мар 2018, 21:15

Фазовое пространство

в форуме MathCad

shepard23

1

463

20 апр 2015, 20:50

Векторное пространство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

md_house

3

304

10 мар 2018, 14:16


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved