Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Alm99 |
|
|
Для начала помним, что из свойств КМА [math]V_{0} \subset V_{1}[/math]. Пусть [math]V_{0}[/math] - пространство функций из [math]L_{2}(\mathbb{R})[/math], порожденное системой сдвигов масштабирующей функции [math]\{\varphi(x-n), n \in Z\}[/math]. Известно, что любой элемент пространства [math]V_{0}[/math] может быть представлен в данном случае (для подобных всплесков) в виде ряда: [math]f(x) = \sum_{n \in Z} c_{n} {\frac{\sin \pi(x-n)}{\pi(x-n)}} .[/math] Возьмем преобразование Фурье данной функции: [math]f(\omega) = \sum_{n \in Z} c_{n} e^{-i\omega n} \chi_{-\pi, \pi}(\omega).[/math] где [math]\chi_{-\pi, \pi}[/math] есть характеристическая функция на отрезке [math][-\pi, \pi][/math]. Полученная функция [math]f(\omega)[/math] является функцией из [math]L_{2}(\mathbb{R})[/math] с носителем на промежутке [math][-\pi, \pi][/math]. По свойствам КМА путем масштабирования получаем, что масштабирующая функция вейвлета [math]V_{0} \subset \ldots \subset V_{j}[/math], т.е. из пространства [math]j[/math]. Таким образом, преобразования Фурье масштабирующих функций Уиттекера-Шеннона-Котельникова являются характеристическими функциями, носитель которых принадлежит промежутку [math][-2^{j}\pi, 2^{j} \pi][/math]. Значит, наша масштабирующая функция из [math]V_{1}[/math] в частотной области принимает вид: [math]\varphi(\omega) = \left\{\!\begin{aligned} & 1 \quad \omega \in [-2\pi, 2\pi] \\ & 0 \quad \omega \in \backslash [-2\pi, 2\pi] \end{aligned}\right.[/math] Находим обратное преобразование Фурье: [math]\frac{1}{2\pi}{\int_{-\infty}^{\infty}f \! \left(\omega \right) {\mathrm e}^{i \omega x}d \omega} = \frac{\sin \! \left(2 \pi x \right)}{x \pi}[/math] .Таким образом, наша базисная масштабирующая функция принимает вид: [math]\varphi(x) = \frac{\sin \! \left(2 \pi x \right)}{x \pi}.[/math] В пространстве [math]V_1[/math] КМА Уиттекера-Шеннона-Котельникова базис образуют функции [math]\varphi_{1,n}\left(x\right)[/math]. Эта система ортогональная и нормированная, то есть ортонормированная. Любая функция[math]f\in V_1[/math] раскладывается по данному базису, то есть: [math]f\left(x\right)=\sum_{n\in Z}{c_n\varphi_{1,n}\left(x\right)}[/math] Таким образом опишем наше пространство: [math]\Big \{ f\in\ L^2\left(\mathbb{R}\right):f\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\frac{\sin \,{2\pi}\left(x-n\right)}{\pi\left(x-n\right)} \Big \}.[/math] Правильно ли в данном случае описано пространство [math]V_{1}[/math] для всплесков Уиттекера-Шеннона-Котельникова? |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Уравнение Шеннона | 0 |
341 |
14 сен 2014, 13:54 |
|
Задача на формулу Шеннона | 0 |
256 |
07 дек 2014, 21:43 |
|
Опишите модели электронных облаков атома водорода
в форуме Атомная и Ядерная физика |
0 |
91 |
20 дек 2022, 18:29 |
|
Пространство
в форуме Геометрия |
30 |
691 |
07 июл 2020, 10:02 |
|
Четномерное пространство
в форуме Палата №6 |
13 |
1152 |
04 окт 2015, 00:51 |
|
Линейное пространство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
8 |
648 |
22 ноя 2017, 03:35 |
|
Линейное пространство R2
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
920 |
23 сен 2015, 20:10 |
|
Векторное пространство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
306 |
09 мар 2018, 21:15 |
|
Фазовое пространство
в форуме MathCad |
1 |
463 |
20 апр 2015, 20:50 |
|
Векторное пространство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
304 |
10 мар 2018, 14:16 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |