Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
abcd2021 |
|
|
[math]\left( X1, \mathfrak{A1}, \mu 1 \right)[/math], [math]\left( X2, \mathfrak{A2}, \mu 2 \right)[/math] - пространства с мерами; [math]\mu 1[/math] [math]\times[/math] [math]\mu 2[/math] - произведение мер [math]\mu 1[/math] и [math]\mu 2[/math], определенное на [math]\sigma[/math] - алгебре [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\otimes[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math]; *** ( произведение мер "выше" строилось так : [math]\mathscr{P1}[/math] = [math]\left\{ P \in \mathfrak{A1} | \mu 1 (P) < + \infty \right\}[/math] , [math]\mathscr{P2}[/math] = [math]\left\{ P \in \mathfrak{A2} | \mu 2 (P) < + \infty \right\}[/math] - полукольца подмножеств X1 и X2 соответственно. [math]\mathscr{P} = \mathscr{P1} \times \mathscr{P2}[/math] - произведение полуколец, полукольцо подмножеств X = X1 [math]\times[/math] X2. На [math]\mathscr{P}[/math] определялась функция [math]\mu[/math] : [math]\mu (A \times B) = \mu 1 (A) \cdot \mu 2 (B)[/math] , доказывалось, что она не просто объем на [math]\mathscr{P}[/math], но и МЕРА. Дальше к этой мере, заданной на полукольце применяется процедура стандартного продолжения и получается [math]\mu 1[/math] [math]\times[/math] [math]\mu 2[/math] - произведение мер [math]\mu 1[/math] и [math]\mu 2[/math], определенное на [math]\sigma[/math] - алгебре [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\otimes[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math]) *** Утверждается , что [math]\forall A \in \mathfrak{A1}, B \in \mathfrak{A2}[/math] [math]A \times B[/math] [math]\in[/math] [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\otimes[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math], то есть, [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\times[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math] [math]\subset[/math] [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\otimes[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math] Доказательство Вначале делается вспомогательное утверждение, доказательство которого не ясно. [math]\mathfrak{A1'}[/math] - система счетных объединений множеств из [math]\mathscr{P1}[/math] , [math]\mathfrak{A2'}[/math] - система счетных объединений множеств из [math]\mathscr{P2}[/math] [math]\forall E \subset X[/math] [math]\mu^{*} (E)[/math] = [math]\inf \left\{ \sum\limits_{k=1}^{ \infty } \mu (P_{k}) | E \subset \bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } P_{k}, \forall k \in \mathbb{N} P_{k} \in \mathscr{P} \right\}[/math] - внешняя мера, порожденная [math]\mu[/math]. Само утверждение, которое не понятно. [math]\forall E \subset X[/math] если Pr[math]_{1} (E) \notin \mathfrak{A1'}[/math], то [math]\mu ^{*} (E) = + \infty[/math] (Pr[math]_{1}[/math] - проекция E на X[math]_{1}[/math]) Доказательство этого утверждения Если E можно покрыть [math]\bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } A_{k} \times B_{k}[/math], где [math]\forall k \in \mathbb{N} A_{k} \in \mathscr{P1}, B_{k} \in \mathscr{P2}[/math], то Pr[math]_{1} (E) \subset \bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } A_{K}[/math] И ТОГДА* ЭТО ПРОТИВОРЕЧИТ ТОМУ, ЧТО [math]\ Pr_{1} (E) \notin \mathfrak{A1'}[/math] и тогда по определению внешней меры она + [math]\infty[/math] --------- Что я не понимаю : переход * ([math]\ Pr_{1} (E) = Pr_{1} (E) \cap \bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } A_{k} = \bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } A_{k} \cap Pr_{1} (E)[/math], если бы [math]\ Pr_{1} (E) \in \mathfrak{A1}[/math] , то тогда бы [math]\ A_{k} \cap Pr_{1} (E) \in \mathfrak{A1}[/math] и по монотонности меры [math]\mu 1[/math] [math]\ A_{k} \cap Pr_{1} (E) \in \mathscr{P1}[/math], тогда [math]\ Pr_{1} (E) \in \mathfrak{A1'}[/math] , НО ПРО ПРОЕКЦИЮ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОДМНОЖЕСТВА X на X1 НЕЛЬЗЯ СКАЗАТЬ ЧТО ОНА ПРИНАДЛЕЖИТ [math]\mathfrak{A1}[/math], ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТОГО ЧАСТНОГО СЛУЧАЯ КОГДА ЭТО ПОДМНОЖЕСТВО В КОЛЬЦЕ, ПОРОЖДЕННОМ ПОЛУКОЛЬЦОМ, КОТОРЫЙ БЫЛ РАССМОТРЕН В ЛЕММЕ 1 ЭТОГО ПАРАГРАФА [math]\mathscr{P}[/math] ) |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
abcd2021 писал(а): [math]\forall E \subset X[/math] если Pr[math]_{1} (E) \notin \mathfrak{A1'}[/math], то [math]\mu ^{*} (E) = + \infty[/math] Да, в таком виде приведенное утверждение неверно, поскольку [math]\operatorname{Pr}_1E[/math] может быть неизмеримо относительно [math]\mathfrak{A}_1[/math], но при этом [math]E[/math] может вполне себе иметь конечную внешнюю меру (что-нибудь типа [math]E=V\times\{0\}\subset\mathbb R^2[/math] со стандартной мерой Лебега, где [math]V[/math] - множество Витали, тогда [math]\mu^* E=0[/math]). Но вроде как в доказательстве леммы 3 важно лишь то, покрываются ли проекции множества [math]E[/math] множествами из [math]\mathfrak{A}'_1[/math] и [math]\mathfrak{A}'_2[/math] или нет. Если хотя бы одна проекция не покрывается, то [math]\mu^*E=+\infty[/math] и все доказано. А если [math]\operatorname{Pr}_1E\subset F_1\in\mathfrak{A}'_1[/math] и [math]\operatorname{Pr}_2E\subset F_2\in\mathfrak{A}'_2[/math], то рассматриваем [math]X'=F_1\times F_2\in \mathfrak{A}'_1\times\mathfrak{A}'_2[/math] (при этом [math]E\subset X'[/math]) и далее по тексту. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сохранение условной меры, найти распределение
в форуме Теория вероятностей |
2 |
286 |
10 дек 2016, 01:41 |
|
Сохранение из Mathcad 15 в Mathcad 11
в форуме MathCad |
1 |
924 |
25 июл 2015, 10:57 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |