Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 16 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Student Studentovich |
|
|
Рассмотрим меры Жордана и Лебега на [math]\mathbb{R}^1[/math] или [math]\mathbb{R}^n[/math] Верхняя и няжняя мера Жордана определяются как [math]\mu^*(A)=\inf_{\substack{A_1,A_2,...,A_k\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ k } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{k}m(A_j)[/math] и [math]\mu_*(A)=\sup_{\substack{A_1,A_2,...,A_k\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ k } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{k}m(A_j)[/math], где [math]k[/math] конечно. Верхняя мера Лебега (или просто мера для измеримых по Лебегу множества) определяются как [math]\mu_L^*(A)=\inf_{\substack{A_1,A_2,...,A_n\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ n } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{n}m(A_j)[/math], где уже [math]k[/math] может быть бесконечным (но [math]i,j[/math] пробегают в этом случае счетное множество). И в первом и во втором случаях [math]A_i[/math] "прямоугольники" с произвольными границами (включая или нет), а [math]m(A_i)[/math] классический объем. Ну и сами вопросы: 1) Почему Жордан брал [math]n[/math] только конечным? Ведь естественнее пытаться "замостить" произвольное множество бесконечным числом прямоугольников. С учетом верхней и нижней меры Жодана, будет ли тогда это вообще мерой? 2) Рассматривая меру Лебега для облупленного примера [math]A=[0,1] \cap \mathbb{Q}[/math] заметил, что сначала мера вычисляется для множества иррациональных точек единичного отрезка, которая равна единице, а потом пользуются аддитивностью. Не пойму почему? 3) Ну и последний не существенный вопрос. Может кто знает, почему Lebesgue на русском читается без 'c'. Буду благодарен любым существенным разъяснениям. |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Student Studentovich писал(а): почему Lebesgue на русском читается без 'c' Если послушать как произносится это слово на французском (в интернете), то явственно слышится Лебег, наверно поэтому и по-русски тоже Лебег) Student Studentovich писал(а): С учетом верхней и нижней меры Жодана, будет ли тогда это вообще мерой? Мера Жордана как известно не мера |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали: Student Studentovich |
||
searcher |
|
|
Student Studentovich писал(а): Почему Жордан брал n только конечным? Наверное ему хватало. |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Student Studentovich писал(а): заметил, что сначала А для чего это делалось? |
||
Вернуться к началу | ||
Student Studentovich |
|
|
MihailM
Для того чтобы показать что мера А со второго вопроса равна нулю. Или она показывается через доказательство равенства нулю меры счетного множества или как указал. По определению не нашел |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Student Studentovich, нумеруем точки и i-ю точку заключаем в отрезок длины е/2^i. То есть любое счётное множество имеет меру нуль. Доказательство в одну строчку по определению. Что вы имели в виду, непонятно
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Student Studentovich |
||
swan |
|
|
MihailM писал(а): Мера Жордана как известно не мера MihailM, я впервые сталкиваюсь с таким радикальным утверждением. Можно немного поподробнее? |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Мера обычно счетно-аддитивная.
Если она конечно-аддитивная, то так всегда и пишут конечно-аддитивная мера или аддитивная функция множества. Богачев В.И.: "Счетно-аддитивная функция множества, определенная на алгебре, называется мерой". |
||
Вернуться к началу | ||
Student Studentovich |
|
|
swan писал(а): Student Studentovich, нумеруем точки и i-ю точку заключаем в отрезок длины е/2^i. То есть любое счётное множество имеет меру нуль. Доказательство в одну строчку по определению. Что вы имели в виду, непонятно Да это стандартный путь по определению, однако пока [math]\varepsilon\ne 0[/math] эти окрестности "больше" множество чем [math]A[/math]. Почему такой предельных переход верен, ведь пока [math]\varepsilon\ne 0[/math] окрестности всегда будут содержать иррац. числа. С таким же успехом можно тогда говорить, что покрываем [math]A[/math] пустым множеством [math]-[/math] прямоугольниками с нулевыми сторонами, которые считаются пустыми множествами семейства множеств. А последнее, то есть покрытие пустыми множествами не пустое...режет слух. Точнее, что то не догоняю. И возвращаясь, к первому вопросу из топика. Если рассматривать в определении внешней и внутренней меры Жордана, не только конечные суммы, то верхние меры Лебега и Жордана совпали бы. Однако внутренняя мера Лебега вводится через внешнюю ( как разность между верхними мерами какого нибудь покрытия и дополнения до этого покрытия). И возникает у меня резонный вопрос совпадут ли внутренние меры в этом случае? |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Student Studentovich писал(а): совпадут ли внутренние меры в этом случае? Совпадут конечно |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 16 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |