Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Полнота метрического пространства http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=68444 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Asiria [ 09 фев 2020, 15:27 ] |
Заголовок сообщения: | Полнота метрического пространства |
Уважаемые форумчане, помогите разобраться. Докажите, что p[math]\left(x,y\right)[/math]=[math]\sqrt{\left(x1^{2}-y1^{2} \right)+\left( x2^{2}-y2^{2} \right) }[/math]/является метрикой на [math]\mathbb{R} ^{2}[/math]. Выясните, является ли пространство полным. С доказательством того, является ли это метрикой вопросов у меня нет, просто подстановка данного выражения в три аксиомы. А вот насчет полноты не уверен. Я думаю так: Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно, то рассмотрим фундаментальную последовательность [math]\left\{x^{(n)} \right\}[/math] По определению фундаментальной последовательности: [math]\forall \varepsilon[/math] [math]\exists n_{0}[/math] [math]\in \mathbb{N } \forall k,m>n_{0}[/math] Выполняется неравенство: [math]\sqrt{\left( \sum\limits_{i=1}^{2} \left( x_{i}^{(n)}-x_{i}^{(m)} \right)^{2} \right) }[/math]< [math]\varepsilon[/math] Аналогично для y Ну и, собственно вопрос, этого достаточно для доказательства полноты? |
Автор: | searcher [ 09 фев 2020, 17:16 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
Asiria писал(а): Я думаю так: Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно, Мне показалось, что именно это вам надо доказать. |
Автор: | Asiria [ 09 фев 2020, 18:16 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
searcher В этой задаче несколько пунктов, сверху я написал про один из них. Все метрики(если он таковыми являются) берутся на координатной плоскости и для каждой надо выявить, является она полной или нет. Так то, что я привёл является доказательством полноты или может, я что то совсем неправильно понял? |
Автор: | searcher [ 09 фев 2020, 18:54 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
Asiria писал(а): Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно относительно какой метрики? |
Автор: | searcher [ 09 фев 2020, 18:57 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
Asiria писал(а): или может, я что то совсем неправильно понял? Это выяснится в процессе обсуждения. Пока я чего-то не понимаю. А именно смысл отдельного предложения, которое я процитировал. Если бы вы его прокомментировали, было бы хорошо. |
Автор: | Asiria [ 09 фев 2020, 19:22 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
searcher Видимо я лишнего понаписал. Мы просто берём последовательность, которая является фундаментальной. |
Автор: | searcher [ 09 фев 2020, 19:26 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
Asiria писал(а): Мы просто берём последовательность, Последовательность чего? |
Автор: | Asiria [ 09 фев 2020, 19:40 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
searcher Ну, просто последовательность каких-то чисел |
Автор: | searcher [ 09 фев 2020, 20:03 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
Asiria писал(а): Ну, просто последовательность каких-то чисел Скопируйте ваше доказательство в новый пост и исправьте, а то его трудно стало обсуждать. Непонятно, о чём говорим. |
Автор: | searcher [ 09 фев 2020, 20:08 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Полнота метрического пространства |
Asiria Пока ваше доказательство выглядит так: "Рассмотрим фундаментальную последовательность [math]x^n[/math]. (Пояснение, что это означает). Аналогично для [math]y[/math] ." Asiria писал(а): Ну и, собственно вопрос, этого достаточно для доказательства полноты? По моему мнению недостаточно. |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |