Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Полнота метрического пространства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=68444
Страница 1 из 2

Автор:  Asiria [ 09 фев 2020, 15:27 ]
Заголовок сообщения:  Полнота метрического пространства

Уважаемые форумчане, помогите разобраться.
Докажите, что p[math]\left(x,y\right)[/math]=[math]\sqrt{\left(x1^{2}-y1^{2} \right)+\left( x2^{2}-y2^{2} \right) }[/math]/является метрикой на [math]\mathbb{R} ^{2}[/math]. Выясните, является ли пространство полным.


С доказательством того, является ли это метрикой вопросов у меня нет, просто подстановка данного выражения в три аксиомы.
А вот насчет полноты не уверен.

Я думаю так:
Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно, то рассмотрим фундаментальную последовательность [math]\left\{x^{(n)} \right\}[/math]
По определению фундаментальной последовательности: [math]\forall \varepsilon[/math] [math]\exists n_{0}[/math] [math]\in \mathbb{N } \forall k,m>n_{0}[/math]
Выполняется неравенство: [math]\sqrt{\left( \sum\limits_{i=1}^{2} \left( x_{i}^{(n)}-x_{i}^{(m)} \right)^{2} \right) }[/math]< [math]\varepsilon[/math]
Аналогично для y
Ну и, собственно вопрос, этого достаточно для доказательства полноты?

Автор:  searcher [ 09 фев 2020, 17:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

Asiria писал(а):
Я думаю так:
Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно,

Мне показалось, что именно это вам надо доказать.

Автор:  Asiria [ 09 фев 2020, 18:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

searcher
В этой задаче несколько пунктов, сверху я написал про один из них. Все метрики(если он таковыми являются) берутся на координатной плоскости и для каждой надо выявить, является она полной или нет.
Так то, что я привёл является доказательством полноты или может, я что то совсем неправильно понял?

Автор:  searcher [ 09 фев 2020, 18:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

Asiria писал(а):
Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно

относительно какой метрики?

Автор:  searcher [ 09 фев 2020, 18:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

Asiria писал(а):
или может, я что то совсем неправильно понял?

Это выяснится в процессе обсуждения. Пока я чего-то не понимаю. А именно смысл отдельного предложения, которое я процитировал. Если бы вы его прокомментировали, было бы хорошо.

Автор:  Asiria [ 09 фев 2020, 19:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

searcher
Видимо я лишнего понаписал. Мы просто берём последовательность, которая является фундаментальной.

Автор:  searcher [ 09 фев 2020, 19:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

Asiria писал(а):
Мы просто берём последовательность,

Последовательность чего?

Автор:  Asiria [ 09 фев 2020, 19:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

searcher
Ну, просто последовательность каких-то чисел

Автор:  searcher [ 09 фев 2020, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

Asiria писал(а):
Ну, просто последовательность каких-то чисел

Скопируйте ваше доказательство в новый пост и исправьте, а то его трудно стало обсуждать. Непонятно, о чём говорим.

Автор:  searcher [ 09 фев 2020, 20:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота метрического пространства

Asiria
Пока ваше доказательство выглядит так: "Рассмотрим фундаментальную последовательность [math]x^n[/math]. (Пояснение, что это означает). Аналогично для [math]y[/math] ."
Asiria писал(а):
Ну и, собственно вопрос, этого достаточно для доказательства полноты?

По моему мнению недостаточно.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/