Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вариационный принцип
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=60193
Страница 1 из 1

Автор:  Space [ 28 май 2018, 19:34 ]
Заголовок сообщения:  Вариационный принцип

Добрый вечер! В процессе изучения квантовой механики у меня возник следующий вопрос. Пусть [math]A[/math] — линейный эрмитов оператор, отображающий гильбертово пространство [math]\mathscr{H}[/math] в себя.

Подскажите, пожалуйста, можно ли утверждать, что

1. [math]A[/math] имеет хотя бы одно собственное значение.

2. Если вектор [math]\psi \in \mathscr{H}[/math] таков, что [math]\frac{(A \psi, \psi)}{(\psi,\psi)} = a[/math], то у оператора [math]A[/math] существует собственный вектор [math]\varphi[/math] с собственным значением [math]\lambda \leqslant a[/math]?

▼ Небольшая предыстория вопроса
В одной статье я нашел доказательство того, что в двумерной и одномерной яме всегда есть связанные состояния. Доказательство проводится следующим образом. Подбирается пробная волновая функция [math]\psi[/math] так, чтобы [math]\varepsilon ( \psi ) = \frac{\left\langle \psi \right| \hat{H} \left| \psi \right\rangle}{\left\langle{ \psi | \psi }\right\rangle } < 0[/math], а затем делается ссылка на вариационный принцип, утверждающий, что основное состояние соответствует глобальному минимуму [math]E_0[/math] функционала [math]\varepsilon ( \psi )[/math], так что [math]E_0 < 0[/math]. Но ведь минимума может и не существовать.

Можно продолжить рассуждение и сказать, что, если бы существовали лишь стационарные состояния с неотрицательной энергией, то и среднее значение гамильтониана [math]\hat{H}[/math] на любой волновой функции было бы неотрицательным. Но я не знаю, как обосновать это утверждение. И можно ли утверждать, что собственные значения вообще существуют? Физический смысл подсказывает, что они должны быть, хотя бы большие. Но как показать это математически?

Автор:  searcher [ 28 май 2018, 20:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вариационный принцип

Ответ на оба вопроса: да. Область значений дроби, что вы выписали во втором пункте совпадает с отрезком [math][\lambda_{min},\lambda_{max}][/math], где [math]\lambda_{min}[/math] - минимальное, [math]\lambda_{max}[/math] - максимальное собственное значение оператора. Смотрите, например, учебник Люстерника и Соболева, глава 7, параграф 4, теоремы 3-4.

Автор:  Space [ 28 май 2018, 21:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вариационный принцип

Спасибо за книгу! Это именно то, что мне нужно.

Маленькое замечание.
searcher писал(а):
Область значений дроби, что вы выписали во втором пункте совпадает с отрезком [math][\lambda_{min},\lambda_{max}][/math]

Не обязательно совпадает, но является подмножеством. Спектр и дискретным может быть, например.

Автор:  Human [ 28 май 2018, 21:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вариационный принцип

Space

Вам тоже замечание: если у [math]A[/math] вообще нет дискретного спектра (как у оператора координаты, например), то с математической точки зрения называть точки его непрерывного спектра собственными значениями некорректно. То есть, строго говоря, ответ на Ваш первый вопрос: нет. Другое дело, конечно, что физикам пофиг, у них и непрерывный спектр обладает собственными функциями (дельта-функциями).

Автор:  searcher [ 28 май 2018, 21:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вариационный принцип

Извиняюсь, я про себя имел в виду, что у нас операторы вполне непрерывные. А для них (эрмитовых) понятия спектра и собственных значений совпадают. Теперь дошло, что в квантовой механике это часто не так - если у оператора не чисто точечный спектр. Вообще хотел для самообразования освоить как-нибудь основы квантовой механики.

Автор:  Space [ 28 май 2018, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вариационный принцип

Human писал(а):
называть точки его непрерывного спектра собственными значениями некорректно

А я то думал, что спектр и есть множество собственных значений. К сожалению, не изучал функциональный анализ. А ведь такая красивая наука! Начал читать предложенную searcher книгу и узнал, что спектр — это не собственные значения, а значения, которые не являются регулярными.

Human писал(а):
То есть, строго говоря, ответ на Ваш первый вопрос: нет.

В самом деле, даже нашел в книге пример оператора без собственных значений. Тогда и на второй вопрос ответ отрицательный.

Видимо, чтобы строго обосновать теорему о связанных состояниях, нужно знание функционального анализа поглубже моего.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/