Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Вариационный принцип http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=60193 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Space [ 28 май 2018, 19:34 ] |
Заголовок сообщения: | Вариационный принцип |
Добрый вечер! В процессе изучения квантовой механики у меня возник следующий вопрос. Пусть [math]A[/math] — линейный эрмитов оператор, отображающий гильбертово пространство [math]\mathscr{H}[/math] в себя. Подскажите, пожалуйста, можно ли утверждать, что 1. [math]A[/math] имеет хотя бы одно собственное значение. 2. Если вектор [math]\psi \in \mathscr{H}[/math] таков, что [math]\frac{(A \psi, \psi)}{(\psi,\psi)} = a[/math], то у оператора [math]A[/math] существует собственный вектор [math]\varphi[/math] с собственным значением [math]\lambda \leqslant a[/math]? ▼ Небольшая предыстория вопроса
|
Автор: | searcher [ 28 май 2018, 20:26 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Вариационный принцип |
Ответ на оба вопроса: да. Область значений дроби, что вы выписали во втором пункте совпадает с отрезком [math][\lambda_{min},\lambda_{max}][/math], где [math]\lambda_{min}[/math] - минимальное, [math]\lambda_{max}[/math] - максимальное собственное значение оператора. Смотрите, например, учебник Люстерника и Соболева, глава 7, параграф 4, теоремы 3-4. |
Автор: | Space [ 28 май 2018, 21:19 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Вариационный принцип |
Спасибо за книгу! Это именно то, что мне нужно. Маленькое замечание. searcher писал(а): Область значений дроби, что вы выписали во втором пункте совпадает с отрезком [math][\lambda_{min},\lambda_{max}][/math] Не обязательно совпадает, но является подмножеством. Спектр и дискретным может быть, например. |
Автор: | Human [ 28 май 2018, 21:28 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Вариационный принцип |
Space Вам тоже замечание: если у [math]A[/math] вообще нет дискретного спектра (как у оператора координаты, например), то с математической точки зрения называть точки его непрерывного спектра собственными значениями некорректно. То есть, строго говоря, ответ на Ваш первый вопрос: нет. Другое дело, конечно, что физикам пофиг, у них и непрерывный спектр обладает собственными функциями (дельта-функциями). |
Автор: | searcher [ 28 май 2018, 21:59 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Вариационный принцип |
Извиняюсь, я про себя имел в виду, что у нас операторы вполне непрерывные. А для них (эрмитовых) понятия спектра и собственных значений совпадают. Теперь дошло, что в квантовой механике это часто не так - если у оператора не чисто точечный спектр. Вообще хотел для самообразования освоить как-нибудь основы квантовой механики. |
Автор: | Space [ 28 май 2018, 22:30 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Вариационный принцип |
Human писал(а): называть точки его непрерывного спектра собственными значениями некорректно А я то думал, что спектр и есть множество собственных значений. К сожалению, не изучал функциональный анализ. А ведь такая красивая наука! Начал читать предложенную searcher книгу и узнал, что спектр — это не собственные значения, а значения, которые не являются регулярными. Human писал(а): То есть, строго говоря, ответ на Ваш первый вопрос: нет. В самом деле, даже нашел в книге пример оператора без собственных значений. Тогда и на второй вопрос ответ отрицательный. Видимо, чтобы строго обосновать теорему о связанных состояниях, нужно знание функционального анализа поглубже моего. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |