Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 12:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2015, 12:23
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть пр-во функций, опеределенных на [a,b] и принимающих лишь конечное число значений. Метрика задана как максимальное расстояние между функциями.
Доказать не сепарабельность и не полноту.

Моя идея заключается в том, чтобы выделить подпространство функций, принимающих лишь конечное число рациональных значений. Это подпространство будет счетным и всюду плотным в данном пространстве и следовательно данное пространство сепарабельно.
А вот по поводу полноты я заглох... понятно что надо доказывать через фундаментальные последовательности, но как это правильно сделать идей ноль.

Подскажите, пожалуйста, правильный ли у меня ход мыслей по поводу сепарабельности и как правильно доказать полноту.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 13:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6618
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1525 раз в 1390 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу вашего доказательства сепарабельности. Даже множество функций, принимающих значение или 0 или 1, как легко видеть, имеет мощность [math]2^{|\mathbb R|}[/math].
По полноте. Найдите фундаментальную последовательность функций из пространства, которая не сходится. Для этого используйте "лесенку", постепенно уменьшая длину ступени.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 13:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2015, 12:23
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хм... Значит нам надо идти от противного? Или лучше как то по другому поступить?
По поводу полноты, разве такая последовательность будет принадлежать нашему пространству? Ведь тогда получается, что функции в последовательности имеют счетное кол-во значений, а у нас лишь конечное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 14:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6618
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1525 раз в 1390 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slava1017 писал(а):
По поводу полноты, разве такая последовательность будет принадлежать нашему пространству? Ведь тогда получается, что функции в последовательности имеют счетное кол-во значений, а у нас лишь конечное.

Не прикидывайте на глаз. Распишите.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 14:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6618
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1525 раз в 1390 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slava1017 писал(а):
Хм... Значит нам надо идти от противного? Или лучше как то по другому поступить?

Используйте тот факт, что если в метрическом пространстве присутствует несчётное число элементов, попарное расстояние между которыми больше некоторой положительной константы, то пространство не является сепарабельным.
А само такое множество уже есть :wink:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 16:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2015, 12:23
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По сепарабельности: большое спасибо за совет не думал что можно сделать все так просто :good: вот только боюсь что преподавателю такой способ решения не понравится, не знаете где можно найти доказательство данного свойства? Чтобы я мог если что подкрепить этот способ решения доказательством.

по полноте:
возьмем последовательность функций вида:
[math]\varphi_{n}(x) = a_{i}, a_{i} \leqslant x \leqslant a_{i+1}, a_{i} = a + \frac{ b - a }{ n }*i, i = 1, 2, . . . , n[/math]
фундаментальность и сходимость к [math]\varphi (x)=x[/math] легко доказываются и да, тогда получается что наше пространство не полное, но разве в предельном смысле данная последовательность принадлежит нашему пространству?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 21:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6618
Cпасибо сказано: 103
Спасибо получено:
1525 раз в 1390 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slava1017 писал(а):
но разве в предельном смысле данная последовательность принадлежит нашему пространству?

А что вас смущает? Что, по вашему, значит принадлежность в предельном смысле?
Тут все просто. Для любого [math]n[/math] [math]\varphi_n[/math] принадлежит нашему пространству, а то что в пределе не принадлежит - так это и значит, что пространство неполное.
Небольшая поправка - в определении [math]\varphi_n[/math] [math]i[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]n-1[/math].
Slava1017 писал(а):
где можно найти доказательство данного свойства?

Так оно само по себе весьма очевидное. Но можно, используя эту идею, доказать напрямую.
Вот смотрите: у нас есть несчетное множество, все попарные расстояния между элементами которого равны [math]1[/math]. Построим шары с центрами во всех точках этого множества и радиусом, равным [math]\frac13[/math]. Поскольку [math]\frac 13 +\frac13<1[/math], то все наши шары попарно не пересекаются. Теперь, если у нас есть всюду плотное множество, то в каждом шаре должна лежать точка из этого множества, а поскольку шаров несчетное количество...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать сепарабельность пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

BlackIce

10

1276

06 янв 2014, 16:22

Сепарабельность пространства комплексных чисел

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

neurocore

1

227

02 ноя 2017, 13:01

Сепарабельность пространства компактных операторов в l2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Bend

1

356

29 дек 2016, 15:55

доказать сепарабельность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vlad92

45

3187

16 ноя 2011, 18:25

Доказать линейность пространства Lp

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_fpmi

1

868

30 май 2014, 13:41

Доказать полноту пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alena2712

1

402

19 ноя 2015, 22:31

Как доказать полноту метрического пространства?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Morozy4

3

1534

13 июн 2013, 00:43

Сепарабельность l2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

David007

1

1015

14 янв 2015, 19:38

Сепарабельность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Free Dreamer

2

1670

25 окт 2012, 13:33

Вторая аксиома счетности и сепарабельность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

integral2009

0

572

14 янв 2013, 06:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved