Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Проверить полноту
СообщениеДобавлено: 20 окт 2013, 09:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 окт 2013, 09:13
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
пространства X=(0, + бесконечность )
p(x,y)=| Ln(x/y) |
Нужно фундаментальную послед-сть. Помогите расписать пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверить полноту
СообщениеДобавлено: 20 окт 2013, 15:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим произвольную фундаментальную в метрике [math]\rho[/math] последовательность [math]x_n\in(0;+\infty)[/math], то есть по определению имеем:

[math]\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\colon\forall m,n\geqslant N\ \left|\ln x_m-\ln x_n\right|<\varepsilon[/math]

Записанное выше определение в точности совпадает с определением фундаментальности последовательности [math]\ln x_n[/math] в стандартной метрике [math]\rho_0(x,y)=|x-y|[/math]. Значит по критерию Коши последовательность [math]\ln x_n[/math] сходится в стандартной метрике, то есть существует такое число [math]A[/math], что

[math]\lim_{n\to\infty}\ln x_n=A[/math]

Значит

[math]\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}e^{\ln x_n}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\ln x_n}=e^A\in(0;+\infty)[/math] (подстановка предела под знак функции корректна в силу непрерывности экспоненты на всей оси)

Легко проверить, что последовательность [math]x_n[/math] сходится в метрике [math]\rho[/math] к числу [math]e^A[/math]. Действительно, определение сходимости [math]x_n[/math] к [math]e^A[/math] в данной метрике полностью совпадает с определением сходимости [math]\ln x_n[/math] к [math]A[/math] в стандартной метрике, а последнее справедливо по доказанному выше.

Итак, фундаментальная последовательность [math]x_n[/math] сходится в метрике [math]\rho[/math], значит данное пространство полно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверить полноту
СообщениеДобавлено: 20 окт 2013, 15:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 окт 2013, 09:13
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Проверить на полноту

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Teosty

1

306

27 май 2015, 18:57

Проверить пространство на полноту

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Aspromist

2

441

18 дек 2014, 17:30

Проверить полноту системы логических функций

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Veltare

4

289

30 ноя 2017, 12:15

Доказать полноту

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

DinaAnid

4

429

17 май 2015, 13:43

Доказать полноту пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alena2712

1

434

19 ноя 2015, 22:31

Исследовать на полноту систему в Pk

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Genedalf

0

128

13 май 2019, 22:31

Дискретка (задачи на полноту функции)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

1b3x

1

170

03 янв 2019, 21:10

Показать полноту метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MNOPRST

1

517

18 апр 2015, 12:08

Определить полноту метрики: есть она или нет?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Annakerr

1

434

19 янв 2014, 23:28

Исследовать систему функций на полноту

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Arklaif

1

269

19 окт 2015, 22:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2022 MathHelpPlanet.com. All rights reserved