Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказательство не полноты метрического пространства
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=17048
Страница 1 из 2

Автор:  gagonaft [ 17 май 2012, 14:47 ]
Заголовок сообщения:  Доказательство не полноты метрического пространства

Что делать, чтобы доказать, что пространство не является полным?

Пусть на R задана метрика [math]\rho(x,y)=|\operatorname{arctg}x-\operatorname{arctg}y|[/math]. Доказать, что полученное метрическое пространство не является полным, и найти его пополнение.

Автор:  Prokop [ 17 май 2012, 15:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным

Для этого надо указать сходящуюся в этой метрике последовательность, которая не имеет предела в [math]\mathbb{R}[/math]
Рассмотрите, например, последовательность [math]x_n = n,\;n \in \mathbb{N}.[/math]

Автор:  gagonaft [ 17 май 2012, 15:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным

то есть вы хотите сказать, что раз эта фундаментальная последовательность в пределе дает плюс бесконечность, то получается, что она не будет являться полным пространством?

Автор:  Prokop [ 17 май 2012, 15:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным

Да, [math]\mathbb{R}[/math] в этой метрике не является полным пространством.

Автор:  gagonaft [ 17 май 2012, 15:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным

хотел бы уточнить, как правильно написать это в доказательстве, я так предполагаю, что последовательность минус ее предел должно быть больше эпсилан, но не знаю как это будет грамотно

Автор:  Prokop [ 17 май 2012, 15:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным

Какой предел? В том-то и дело, что предела нет. :)
Вам надо доказать, что указанная последовательность фундаментальна.

Автор:  gagonaft [ 17 май 2012, 15:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным

эм... а как это сделать?

Автор:  Prokop [ 17 май 2012, 16:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: что делать чтоб доказать что пространство не является полным

По определению или критерию Коши.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1% ... 1%82%D1%8C

Автор:  Free Dreamer [ 24 окт 2012, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство не полноты метрического пространства

Я бы решал так.

По-хорошему, сначала стоило бы убедиться, что заданная метрика действительно является метрикой, то есть действительно удовлетворяет трём свойствам метрики. Указанная функция [math]\rho[/math] действительно неотрицательна, принимает значение нуль только если [math]arctgx = arctgy[/math], что, в силу строгой монотонности арктангенса, возможно лишь если [math]x = y[/math]. Из свойств алгебраических операций над действительными числами следует, что [math]\rho(x,y) = \rho(y,x)[/math]. И в неравенстве треугольника тоже легко убедиться: достаточно его записать и сказать, что, в силу свойств модуля, оно действительно выполняется.

Чтобы доказать, что данное метрическое пространство не является полной, возьмём отрицание определения полного пространства. Пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства. Отметим, что если фундаментальных последовательностей в данном пространстве нет вообще, то оно, согласно определению, тоже будет полным. Отрицание определения будет иметь вид: пространства будет НЕполным, если найдётся в нём такая фундаментальная последовательность, которая не является сходящейся в этом метрическом пространстве.

Возьмём произвольную последовательность действительных чисел, которая является фундаментальной относительно данной метрики. Обозначим эту последовательность через [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math]. По нашему предположению эта последовательность должна быть фундаментальной, то есть (по определению фундаментальности) она удовлетворяет следующему условию:
[math]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists N( \varepsilon ) \,\colon ~ \forall n \geqslant N ~ ~ \forall p \in \mathbb{N} ~ ~ \rho (x_{n+p}, x_{n}) = |arctg (x_{n+p}) - arctg (x_{n})| < \varepsilon[/math].

Обозначим [math]y_{n} = arctg(x_{n})[/math]. Получим последовательность действительных чисел, для которой, из выше написанного, справедливо следующее:
[math]\forall \varepsilon > 0 ~~ \exists N( \varepsilon ) \,\colon ~ \forall n \geqslant N ~ ~ \forall p \in \mathbb{N} ~ ~ |arctg (x_{n+p}) - arctg (x_{n})| = |y_{n+p} - y_{n}| < \varepsilon[/math]. То есть последовательность действительных чисел [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] является фундаментальной во множестве действительных чисел относительно стандартной метрики (обычного модуля). По критерию Коши, который доказывается в курсе мат. анализа, эта последовательность сходится. Посмотрим, к чему она может сходится.
Согласно выше сказанному, [math]y_{n} = arctg(x_{n})[/math], а арктангенс может принимать значения лишь в интервале [math](- \frac{ \pi }{ 2 } ; \frac{ \pi }{ 2 } )[/math].

Если последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к одной из точек этого интервала, то, думаю, можно показать, что и исходная последовательность [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] спокойно сходится. Но у интервала есть ещё две предельные точки, этому интервалу не принадлежащие. Что если последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к одной из них? Например, предъявим последовательность [math]\left\{ x_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}[/math], такую, что последовательность [math]\left\{ y_{n} \right\}_{n=1}^{\infty} = \left\{ arctg(x_{n}) \right\}_{n=1}^{\infty}[/math] сходится к [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math].

Самый простой выбор - положить [math]x_{n} = n[/math], тогда (обычные пределы) [math]\lim_{n \to \infty}n = +\infty[/math] и [math]\lim_{n \to \infty}arctg(x_{n}) = \frac{ \pi }{ 2 }[/math].

Вообще решение можно начинать с этого места. Всё, что было перед предыдущей строкой я написал, чтобы показать, как именно я выбирал последовательность. Нам осталось показать, что она является фундаментальной - предлагаю это сделать Вам.

Нам также нужно показать, что ни одно действительное число не является пределом этой последовательности относительно заданной метрики.

В самом деле, предположим, что найдётся элемент нашего метрического пространства - то есть некоторое действительное число a, которое является пределом нашей последовательности:
[math]\exists a = \lim_{n \to \infty}x_{n}[/math]
По определению сходимости последовательности в метрическом пространстве, это означает, что должно выполняться равенство:
[math]\lim_{n \to \infty}\rho(x_{n}, a) = 0[/math]
[math]\lim_{n \to \infty}\rho(n, a) = 0[/math]
[math]\lim_{n \to \infty}|arctgn - arctga| = 0[/math]
Но, если перейти к пределу по n (обычному пределу), то получим, что требуемое равенство можно переписать в виде:
[math]\lim_{n \to \infty}|\frac{ \pi }{ 2 } - arctga| = 0[/math], откуда должно выполняться равенство [math]arctga = \frac{ \pi }{ 2 }[/math], что невозможно на обычной действительной прямой.

Мы предъявили фундаментальную последовательность, которая, тем не менее, не сходится. Осталось решить, какими (двумя) элементами нужно дополнить исходное метрическое пространство, чтобы в нём любая фундаментальная последовательность была сходящейся.

Надеюсь, что моё решение правильное.

Автор:  Human [ 24 окт 2012, 16:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство не полноты метрического пространства

Правильное, только, думаю, ТС уже оно не нужно, последнее сообщение в этой теме было написано 17 мая 2012.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/