Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Проверить полноту метрического пространства X
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=15235
Страница 1 из 1

Автор:  JosephK [ 09 мар 2012, 22:10 ]
Заголовок сообщения:  Проверить полноту метрического пространства X

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста, с чего начать решения следующих задач ( плоховато у меня с решением таких задач )
1. Проверить полноту метрического пространства [math]X[/math]:

[math]X=[0,1],\rho(x,y)=|x-y|[/math]

[math]\rho[/math] является метрикой на [math]R[/math] - это ясно, будет ли это метрикой на отрезке...

2. Доказать, что [math]A[/math] открыто в [math]C[0,1][/math]

[math]A\subset[0,1][/math], [math]A=\{x\in C[0,1]\colon |x(t)-cos(t)|<10,\forall t\in [0,1]\}[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 09 мар 2012, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота пространства. Открытость множества

Метрика остается таковой на любом непустом подмножестве метрического пространства. Чтобы проверить полноту, нужно просто проверить определение этой самой полноты.
Второе утверждение следует из того, что всякий открытый шар в метрическом пространстве является открытым множеством.

Автор:  JosephK [ 09 мар 2012, 22:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота пространства. Открытость множества

Со вторым утверждением понятно, спасибо за помощь.
Насчет первой - нужно показать, что любая фундаментальная последовательность на этом множестве будет сходящейся. Тогда пространство будет полным. Спасибо, еще подумаю

Автор:  arkadiikirsanov [ 09 мар 2012, 22:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Полнота пространства. Открытость множества

Чего там думать - это прямо следует из полноты всей оси и замкнутости отрезка.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/