Скалярное произведение

Объявляется конкурс на самое короткое и изящное построение теории скалярного произведения в [math]\mathbb{R}^3[/math] с формулой [math](\boldsymbol a,\boldsymbol b)=\mid \boldsymbol a\mid\cdot\mid\boldsymbol b\mid\cos\alpha[/math]
и свойством билинейности.
Т.е. дать определение и вывести из него все остальное по возможности коротко и ясно.

Предлагаю скалярное произведение векторов [math]\boldsymbol{a}=a_1 \boldsymbol{i} +a_2 \boldsymbol{j} +a_3 \boldsymbol{k}[/math] и [math]\boldsymbol{b} = b_1 \boldsymbol{i} +b_2 \boldsymbol{j} +b_3 \boldsymbol{k}[/math] определить как число [math]( \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} )=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3[/math] . Ну, а дальше, исходя из этого, определить норму вектора и угол между двумя векторами.

Тогда уж давайте сразу зададим скалярное произведение аксиомами: симметричность, билинейность положительная определенность. И оттуда определим модуль вектора. Дальше надо определить окружность, длину кривой через интеграл и радианную меру угла. Потом косинус с синусом. И как теорему доказать формулу, выражающую скалярное произведение через косинус

Я сперва хотел обсуждать около школьное построение скалярного произведения, но в конечном счете все равно останется только это.

Какую-то я, видимо, странную тему предложил..

Вспоминаю, что в университете нас так и учили. Дальше, исходя из ортонормированности базисных векторов, получаем


Тема скорее педагогическая, чем чисто математическая. Может опытные педагоги пояснят, как лучше доходит до изучающих предмет.