Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача 8 из Тыртышникова
СообщениеДобавлено: 08 дек 2021, 21:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]u[/math] и [math]v[/math] вектор-столбцы. Доказать: [math]\left| I+uv^T \right| = 1+u^Tv[/math] . (Здесь [math]I[/math] - единичная матрица, [math]^T[/math] - транспонирование).

Что-то похожее я как-то доказывал (матрицы [math]AB[/math] и [math]BA[/math] имеют одинаковые ненулевые собственные значения). Задача из самого начала книги Тыртышникова по основам алгебры. По-видимому, предполагается совершенно элементарное доказательство, которое я не догоняю. Может быть индукцией с разложением определителя по строке?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача 8 из Тыртышникова
СообщениеДобавлено: 09 дек 2021, 08:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача элементарно доказывается по индукции. Пользуемся тем, что определитель линейно зависит от строки. Сначала раскладываем по первой строке. Определитель раскладывается на два. В первом будет в первой строке одна единичка, остальные нули. Это определитель по предложению индукции равен [math]1+u_2v_2+...u_nv_n[/math] . (Здесь через [math]u_i[/math] и [math]v_i[/math] обозначены компоненты вектора [math]u[/math] и [math]v[/math] ). Во втором определителе первая строка будет иметь вид [math](u_1v_1...u_nv_n)[/math] . Этот определитель будет равен [math]u_1v_1[/math] . Доказать это можно так. Проделываем с ним ту же операцию, что и раньше, но со второй строкой. Определитель раскладывается на два, один из которых равен нулю, а во втором во второй строке все нули, кроме одной единички. Повторяем эту операцию ещё несколько раз. В результате получим определитель от треугольной матрицы, ниже диагонали которой стоят нули, а на диагонали все единицы, кроме верхнего левого члена [math]u_1v_1[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теория вероятности: задача про шары и задача про точку

в форуме Теория вероятностей

AdmiralAnanas

6

484

02 окт 2021, 01:43

Задача на построение. Корректна ли задача?

в форуме Геометрия

Student Studentovich

9

663

19 июл 2020, 19:17

Задача №8

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

1

464

05 окт 2016, 09:20

Задача

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

God_mode_2016

2

622

09 окт 2016, 03:09

Задача

в форуме Алгебра

Alexandr Privalov

1

750

09 окт 2016, 19:18

Задача

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

jdit000

6

796

22 май 2014, 15:00

Задача на ТВ

в форуме Теория вероятностей

Margo20

2

763

27 май 2015, 00:06

Задача

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Alexander4815

1

444

17 май 2015, 17:16

Задача

в форуме Теория чисел

Lyuda

0

530

05 дек 2015, 14:50

Задача

в форуме Школьная физика

Kristinadefa

1

578

21 май 2015, 21:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved