Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Аналитическая геометрия (скалярное произведение)
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2016, 21:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 20:58
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите решить задачу с помощью скалярного произведения.
В правильном тетраэдре ABCD точки E и F являются серединами ребер AD и BC соответственно. На ребре CD взята точка N, на отрезке EF - точка M так, что угол MNC = 45, угол NME=arccos(2/3). В каком отношении точки M и N делят отрезки EF и CD?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аналитическая геометрия (скалярное произведение)
СообщениеДобавлено: 03 янв 2023, 16:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2023, 13:35
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.

Такая же задача есть под номером 2.44 в Сборнике задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. Автору данного сообщения, вероятно, уже неактуально решение. Но поскольку мне не удалось найти решение в Интернете и получилось таки самому решить задачу, приведу своё решение в настоящем ответе.

Введём декартову ортонормированную систему координат. Начало системы координат поместим в вершину А. Ось x направим вдоль ребра АВ. Ось y расположим в плоскости основания ABC и направим перпендикулярно оси x в сторону вершины C. Ось z направим перпендикулярно плоскости ABC в сторону вершины D. Поскольку в задаче нет линейных размеров и требуется найти отношение длин отрезков, то величину ребра правильного тетраэдра ABCD можно принять любой. Положим длину ребра равной 1 так, чтобы единичный вектор по оси х был равен вектору AB.

Допустим, что ME = m*FE, а NC = n*DC.

Используя тот факт, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1 считая от вершины, а также, что медианы в равностороннем треугольнике являются высотами, а проекция вершины правильного тетраэдра совпадает с центром противоположной грани (точкой пересечения медиан), а также что диагонали ромба (параллелограмма) точкой пересечения делятся пополам, запишем координаты вершин и векторов:

A(0, 0, 0)
B(1, 0, 0)
C(1/2, sqrt(3)/2, 0)
AF = 1/2*(AB + AC) = (3/4, sqrt(3)/4, 0)
AO = 2/3*AF = (1/2, 1/(2*sqrt(3)), 0) - центр грани ABC
AD = (1/2, 1/(2*sqrt(3)), sqrt(2/3)), т.к. OD^2 = AD^2 - AO^2 = 1 - AO^2
AE = 1/2*AD = (1/4, 1/(4*sqrt(3)), 1/2*sqrt(2/3))
DC = AC - AD = (0, 1/sqrt(3), -sqrt(2/3))
DC^2 = 1, |DC| = 1
FE = AE - AF = (-1/2, -1/(2*sqrt(3)), 1/2*sqrt(2/3))
FE^2 = 1/2, |FE| = 1/sqrt(2)

Пусть единичный вектор e с координатами (x, y, z) коллинеарен вектору MN. Тогда
(1): x*x + y*y + z*z = 1.
Скалярные произведения:
(2): (e, DC) = |e|*|DC|*(-cos(MNC)) = -1/sqrt(2),
(3): (e, FE) = |e|*|FE|*cos(NME) = sqrt(2)/3.

Записав скалярные произведения через сумму произведений соответствующих координат и решив систему уравнений (1)-(3), получим координаты вектора
e(-1/(3*sqrt(2)), 1/(3*sqrt(6)), 5/(3*sqrt(3))).

Т.к. векторы e и MN коллинеарны e || MN, то их координаты пропорциональны, откуда получаем систему уравнений:
(4): 2*m + 2*n - 3 = 0,
(5): 8*m - 4*n - 3 = 0.
Решая которую, находим:
m = n = 3/4.

Ответ: |EM|:|MF| = |CN|:|ND| = 3:1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Аналитическая геометрия (скалярное произведение)
СообщениеДобавлено: 04 янв 2023, 00:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2023, 13:35
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чертеж к задаче
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить векторное произведение и скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

GRAND799

8

957

28 янв 2016, 14:46

Скалярное произведение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Susanna Gaybaryan

5

228

02 май 2020, 14:03

Скалярное произведение

в форуме Геометрия

Medi

4

167

28 окт 2021, 19:24

Скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

tensshhi

7

359

10 янв 2023, 18:23

Скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Finn_parnichka

1

353

30 сен 2018, 01:09

Скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

wrobel

3

168

18 ноя 2023, 16:26

Скалярное произведение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

BabyRooJr

3

312

30 апр 2019, 14:17

Скалярное произведение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Susanna Gaybaryan

6

289

24 май 2020, 15:13

Скалярное произведение векторов

в форуме Размышления по поводу и без

anderlo

2

489

13 ноя 2016, 00:57

C2 по математике(скалярное произведение)

в форуме Геометрия

Foundate

1

305

15 дек 2014, 17:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 42


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved