Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
MaryArwen |
|
|
В правильном тетраэдре ABCD точки E и F являются серединами ребер AD и BC соответственно. На ребре CD взята точка N, на отрезке EF - точка M так, что угол MNC = 45, угол NME=arccos(2/3). В каком отношении точки M и N делят отрезки EF и CD? |
||
Вернуться к началу | ||
lavrenchuk |
|
|
Здравствуйте.
Такая же задача есть под номером 2.44 в Сборнике задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. Автору данного сообщения, вероятно, уже неактуально решение. Но поскольку мне не удалось найти решение в Интернете и получилось таки самому решить задачу, приведу своё решение в настоящем ответе. Введём декартову ортонормированную систему координат. Начало системы координат поместим в вершину А. Ось x направим вдоль ребра АВ. Ось y расположим в плоскости основания ABC и направим перпендикулярно оси x в сторону вершины C. Ось z направим перпендикулярно плоскости ABC в сторону вершины D. Поскольку в задаче нет линейных размеров и требуется найти отношение длин отрезков, то величину ребра правильного тетраэдра ABCD можно принять любой. Положим длину ребра равной 1 так, чтобы единичный вектор по оси х был равен вектору AB. Допустим, что ME = m*FE, а NC = n*DC. Используя тот факт, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1 считая от вершины, а также, что медианы в равностороннем треугольнике являются высотами, а проекция вершины правильного тетраэдра совпадает с центром противоположной грани (точкой пересечения медиан), а также что диагонали ромба (параллелограмма) точкой пересечения делятся пополам, запишем координаты вершин и векторов: A(0, 0, 0) B(1, 0, 0) C(1/2, sqrt(3)/2, 0) AF = 1/2*(AB + AC) = (3/4, sqrt(3)/4, 0) AO = 2/3*AF = (1/2, 1/(2*sqrt(3)), 0) - центр грани ABC AD = (1/2, 1/(2*sqrt(3)), sqrt(2/3)), т.к. OD^2 = AD^2 - AO^2 = 1 - AO^2 AE = 1/2*AD = (1/4, 1/(4*sqrt(3)), 1/2*sqrt(2/3)) DC = AC - AD = (0, 1/sqrt(3), -sqrt(2/3)) DC^2 = 1, |DC| = 1 FE = AE - AF = (-1/2, -1/(2*sqrt(3)), 1/2*sqrt(2/3)) FE^2 = 1/2, |FE| = 1/sqrt(2) Пусть единичный вектор e с координатами (x, y, z) коллинеарен вектору MN. Тогда (1): x*x + y*y + z*z = 1. Скалярные произведения: (2): (e, DC) = |e|*|DC|*(-cos(MNC)) = -1/sqrt(2), (3): (e, FE) = |e|*|FE|*cos(NME) = sqrt(2)/3. Записав скалярные произведения через сумму произведений соответствующих координат и решив систему уравнений (1)-(3), получим координаты вектора e(-1/(3*sqrt(2)), 1/(3*sqrt(6)), 5/(3*sqrt(3))). Т.к. векторы e и MN коллинеарны e || MN, то их координаты пропорциональны, откуда получаем систему уравнений: (4): 2*m + 2*n - 3 = 0, (5): 8*m - 4*n - 3 = 0. Решая которую, находим: m = n = 3/4. Ответ: |EM|:|MF| = |CN|:|ND| = 3:1 |
||
Вернуться к началу | ||
lavrenchuk |
|
|
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вычислить векторное произведение и скалярное произведение | 8 |
957 |
28 янв 2016, 14:46 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
228 |
02 май 2020, 14:03 |
|
Скалярное произведение
в форуме Геометрия |
4 |
167 |
28 окт 2021, 19:24 |
|
Скалярное произведение | 7 |
359 |
10 янв 2023, 18:23 |
|
Скалярное произведение | 1 |
353 |
30 сен 2018, 01:09 |
|
Скалярное произведение | 3 |
168 |
18 ноя 2023, 16:26 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
312 |
30 апр 2019, 14:17 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
6 |
289 |
24 май 2020, 15:13 |
|
Скалярное произведение векторов
в форуме Размышления по поводу и без |
2 |
489 |
13 ноя 2016, 00:57 |
|
C2 по математике(скалярное произведение)
в форуме Геометрия |
1 |
305 |
15 дек 2014, 17:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 42 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |