Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Приближение луча света к большой оси эллипса
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=36633
Страница 1 из 1

Автор:  Artyom_st [ 09 ноя 2014, 14:26 ]
Заголовок сообщения:  Приближение луча света к большой оси эллипса

Как математически доказать то, что при многократном отражение луча света от поверхности эллипса, данный луч будет стремиться к большой оси эллипса? Только, пожалуйста, не надо писать, что это мол ОЧЕВИДНО из оптического свойства эллипса

Автор:  Artyom_st [ 10 ноя 2014, 09:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приближение луча света к большой оси эллипса

Да, луч проходит через фокусы. Я ранее на эту книгу выходил, но вопрос остался, потому что пробовал, но никак не получалось доказать в данном доказательстве вот это

Изображение

из задачи 4.5

Изображение

Вопрос: как доказать данное отношение тангенсов?


Автор:  Artyom_st [ 19 ноя 2014, 18:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приближение луча света к большой оси эллипса

Li6-D писал(а):
Треугольник [math]O{P_1}{P_2}[/math] (рисунок 4.12) – равнобедренный, пусть x – угол при его основании, тогда:
[math]{\varphi _2}={\varphi _1}+ 2x \Rightarrow tg\frac{{{\varphi _2}}}{2}= tg\left({\frac{{{\varphi _1}}}{2}+ x}\right) = \frac{{tg\frac{{{\varphi _1}}}{2}+ tg\,x}}{{1 - tg\frac{{{\varphi _1}}}{2}\cdot tg\,x}}= \frac{{ctg\,x + ctg\frac{{{\varphi _1}}}{2}}}{{ctg\,x - tg\frac{{{\varphi _1}}}{2}}}tg\frac{{{\varphi _1}}}{2}.[/math] (1)

По теореме синусов для треугольника [math]O{O_1}{P_1}[/math] имеем:
[math]\frac{R}{a}= \frac{1}{e}= \frac{{\sin \left({x +{\varphi _1}}\right)}}{{\sin x}}= \cos{\varphi _1}+ ctgx \cdot \sin{\varphi _1}\Rightarrow ctgx = \frac{{\frac{1}{e}- \cos{\varphi _1}}}{{\sin{\varphi _1}}}.[/math] (2)

С учётом (2) преобразуем числитель формулы (1):
[math]ctg\,x + ctg\frac{{{\varphi _1}}}{2}= \frac{{\frac{1}{e}- \cos{\varphi _1}}}{{\sin{\varphi _1}}}+ \frac{{\cos{\varphi _1}+ 1}}{{\sin{\varphi _1}}}= \frac{{\frac{1}{e}+ 1}}{{\sin{\varphi _1}}}.[/math]
Теперь знаменатель: [math]ctg\,x - tg\frac{{{\varphi _1}}}{2}= \frac{{\frac{1}{e}- \cos{\varphi _1}}}{{\sin{\varphi _1}}}- \frac{{1 - \cos{\varphi _1}}}{{\sin{\varphi _1}}}= \frac{{\frac{1}{e}- 1}}{{\sin{\varphi _1}}}.[/math]

Подставляя полученное в (1) получим немного иное выражение, чем в книге:
[math]tg\frac{{{\varphi _2}}}{2}= \frac{{1 + e}}{{1 - e}}tg\frac{{{\varphi _1}}}{2}[/math]. Из него следует, что [math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\left({tg\frac{{{\varphi _n}}}{2}}\right) = \infty \Rightarrow \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}{\varphi _n}= \pi .[/math]
Впрочем, результат тот же – луч стремится к горизонтальному диаметру.
Думаю, что на рисунке показан не тот отсчёт углов (от противоположного луча).
Если сжать окружность по вертикали, так чтобы она превратилась в эллипс с фокусами O и O1, то луч будет бегать в эллипсе по свойствам отражения, и после многократных отражений будет приближаться к большой оси эллипса.

Можно, пожалуйста, подробней расписать (1), там где выражеется tg(фи2/2). При вертикальном сжатии разве образуется эллипс с фокусами О1 и О? Не О1 и О2 разве?

Автор:  Artyom_st [ 19 ноя 2014, 20:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приближение луча света к большой оси эллипса

Li6-D писал(а):
Artyom_st писал(а):
Можно, пожалуйста, подробней расписать (1), там где выражеется tg(фи2/2).

Углы равнобедренного треугольника [math]\vartriangle O{P_1}{P_2}[/math]: [math]\widehat O ={\varphi _1}+ \pi -{\varphi _2};\,\;\widehat{{P_1}}= \widehat{{P_2}}= x.[/math]

Сумма углов треугольника равна: [math]\widehat O + \widehat{{P_1}}+ \widehat{{P_2}}={\varphi _1}+ \pi -{\varphi _2}+ 2x = \pi,[/math] откуда и следует [math]{\varphi _2}={\varphi _1}+ 2x.[/math]

Это равенство поделим на 2 и возьмём тангенс: [math]tg\frac{{{\varphi _2}}}{2}= tg\left({\frac{{{\varphi _1}}}{2}+ x}\right).[/math]
Правую часть полученного уравнения преобразуем по формуле тангенса суммы двух углов.

Мне не понятно было после взятия тангенса. Откуда взялись эти котангенсы? 3 часа пытаюсь вывести, да никак не пойму.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/