Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь параллелограмма и длина основавния
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=36252
Страница 1 из 1

Автор:  F1t [ 23 окт 2014, 13:10 ]
Заголовок сообщения:  Площадь параллелограмма и длина основавния

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, если известен угол f между векторами m и n, и длину основания параллелограмма, что совпадает с вектором а.
а=3m-4n; b=-m+n; |m|=3; |n|=4; f=п/3

Автор:  3D Homer [ 23 окт 2014, 15:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь параллелограмма и длина основавния

Длина [math]a[/math] находится через скалярное произведения:

[math]|a|^2=(a,a)=(3m-4n,3m-4n)= 9(m,m)-12(m,n)-12(n,m)+16(n,n) =[/math]
[math]=9(m,m)-24(m,n)+16(n,n).[/math]

Каждое из этих трех скалярных произведений находится по определению.

Площадь можно найти через векторное произведение или ориентированную площадь [math]a\land b[/math] (также называемую псевдоскалярным, или косым, произведением). Как и скалярное произведение, оно линейно по обоим аргументам (каждое слагаемое из первого сомножителя умножается на каждое слагаемое из второго сомножителя, а числовые коэффициенты выносятся наружу), поэтому

[math]a\land b=(3m-4n)\land(-m+n) =-3m\land m+3m\land n+4n\land m-4n\land n.[/math]

Однако, в отличие от скалярного произведения, данное произведение антикоммутативно. Это значит, что [math]n\land m=-m\land n[/math], а [math]m\land m=-m\land m=0[/math]. Поэтому

[math]a\land b=3m\land n-4m\land n=-m\land n.[/math]

Дальше [math]m\land n[/math] находится по определению: [math]m\land n=|m|\cdot|n|\sin\varphi[/math], где [math]\varphi[/math] — угол между [math]m[/math] и [math]n[/math]. Вас интересует модуль [math]|a\land b|[/math] этой ориентированной площади.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/