Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Приведение кв формы к канон виду
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=35821
Страница 1 из 1

Автор:  ahgel1990 [ 01 окт 2014, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Приведение кв формы к канон виду

Посмотрите пожалуйста пример 6.8 static.php?p=privedenie-kvadratichnoi-formy-k-kanonicheskomu-vidu

у меня там вместо 2 все 4.Так вот,подскажите, как будет выглядеть пункты 3(1) и 1(3) в решении данного примера, там у меня должны быть 2-ки впереди, или также?

Автор:  ahgel1990 [ 07 окт 2014, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение кв формы к канон виду

1(1). В данную квадратичную форму переменная x_1 входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.

2(1). По ведущей переменной (x_1) выделяем полный квадрат:

\begin{gathered}q(x)=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= \Bigl[x_1^2+ 2x_1(x_2-x_3)+(x_2-x_3)^2\Bigr]-\\ -(x_2-x_3)^2+x_2^2-x_2x_3+x_3^2= (x_1+x_2-x_3)^2+x_2x_3. \end{gathered}

Обозначим y_1=x_1+x_2-x_3,~y_2=x_2,~y_3=x_3, тогда получим новую квадратичную форму \widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3. Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма.

1(2). В квадратичной форме \widetilde{q}(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2y_3 нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение y_2y_3 разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма.

3(1). Заменяем выбранную пару переменных y_2=z_2-z_3,~y_3=z_2+z_3. Оставшуюся старую переменную y_1 принимаем за соответствующую новую y_1=z_1. Получаем квадратичную форму

\widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+(z_2-z_3)(z_2+z_3)=z_1^2+z_2^2-z_3^2.

Переходим к пункту 1 алгоритма.

1(3). В квадратичной форме \widetilde{\widetilde{q}}(z_1,z_2,z_3)= z_1^2+z_2^2-z_3^2 нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей \Lambda= \operatorname{diag}(1,1,-1)..

Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены x=S_1y и y=S_2z с матрицами

S_1=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!,\qquad S_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\!.

Следовательно, матрица S искомой замены x=Sz находится как произведение

S=S_1\cdot S_2= \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}\!.

Получим матрицу \Lambda квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10): \Lambda=S^TAS, где A — матрица заданной квадратичной формы (см. примеры 6.4, 6.5). Имеем

\Lambda=S^TAS= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1/2\\ -1&-1/2&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\!,

то есть \Lambda=\operatorname{diag}(1,1,-1) что соответствует найденному каноническому виду.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/