Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=35329
Страница 1 из 2

Автор:  Amateur_3D [ 24 авг 2014, 17:30 ]
Заголовок сообщения:  Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

На форумах уравнение плоскости, составленное по 3-м точкам, выглядит так:

[math]\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{x - {x_1}}&{y - {y_1}}&{z - {z_3}}\\{{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\{{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}}&{{z_3} - {z_1}}\end{array}}\right|= 0[/math]

но есть и в виде матрицы 4x4:

[math]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y&z&1\\{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&1\\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&1\\{{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}}&1\end{array}} \right| = 0[/math] .

Как эта матрица получается из выражения выше ?

Автор:  vvvv [ 24 авг 2014, 19:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

Во-первых, это не матрицы,а определители.
Во-вторых, эти определители равны.
Можете в качестве упражнения проделать вычисления и убедиться.

Автор:  Amateur_3D [ 24 авг 2014, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

То что они равны это ясно из равенства обоих формул (определителей) нулю. Это смешанное прозведение векторов.
Меня интересует как получилась вторая формула из первой. Выкладки если можно.

Автор:  vvvv [ 25 авг 2014, 01:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

Amateur_3D писал(а):
То что они равны это ясно из равенства обоих формул (определителей) нулю. Это смешанное прозведение векторов.
Меня интересует как получилась вторая формула из первой. Выкладки если можно.

Они равны тождественно. Если переменным придать одни и те же значения, то определители не обязательно будут равны нулю.
Может получиться любое число, но одно и то же в обоих определителях.
Повторяю, проделайте вычисления- получите одно и то же выражение в обоих определителях.

Автор:  Amateur_3D [ 25 авг 2014, 22:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

Всё я кажется разобрался. Но тогда уже несколько уклоняясь от заданной темы.

Определитель для единичной матрицы: [math]\left| {a - {a_1}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&1\\{{a_1}}&1\end{array}}\right|[/math]

Определитель для матрицы "2 на 2": [math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - {a_1}}&{b - {b_1}}\\{{a_2} - {a_1}}&{{b_2} - {b_1}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&1\\{{a_1}}&{{b_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&1\end{array}} \right|\][/math]

Определитель для матрицы "3 на 3": [math]\[\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{a - {a_1}}&{b - {b_1}}&{c - {c_1}}\\{{a_2} - {a_1}}&{{b_2} - {b_1}}&{{c_2} - {c_1}}\\{{a_3} - {a_1}}&{{b_3}-{b_1}}&{{c_3} - {c_1}}\end{array}} \right| = \left|{\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c&1\\{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}&1\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}&1\end{array}} \right|\][/math]

Знак "=" - равны тождественно (если что).

Как замечательно можно избавится от разностей в элементах определителя .

Это интересное свойство (замечание) нигде не объясняется и не рассматривается "на пальцах".

Автор:  Andy [ 25 авг 2014, 23:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

Amateur_3D писал(а):
Всё я кажется разобрался. Но тогда уже несколько уклоняясь от заданной темы.

Определитель для единичной матрицы: [math]\left| {a - {a_1}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&1\\{{a_1}}&1\end{array}}\right|[/math]

Определитель для матрицы "2 на 2": [math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - {a_1}}&{b - {b_1}}\\{{a_2} - {a_1}}&{{b_2} - {b_1}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&1\\{{a_1}}&{{b_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&1\end{array}} \right|\][/math]

Определитель для матрицы "3 на 3": [math]\[\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{a - {a_1}}&{b - {b_1}}&{c - {c_1}}\\{{a_2} - {a_1}}&{{b_2} - {b_1}}&{{c_2} - {c_1}}\\{{a_3} - {a_1}}&{{b_3}-{b_1}}&{{c_3} - {c_1}}\end{array}} \right| = \left|{\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c&1\\{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}&1\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}&1\end{array}} \right|\][/math]

Знак "=" - равны тождественно (если что).

Как замечательно можно избавится от разностей в элементах определителя .

Это интересное свойство (замечание) нигде не объясняется и не рассматривается "на пальцах".

Amateur_3D, воспользуйтесь тем, что определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае [math]-1[/math]), прибавить к соответствующим элементам других строк, и разложите полученный определитель по элементам последнего столбца. :)

Автор:  Amateur_3D [ 26 авг 2014, 05:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

Цитата:
...определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае ), прибавить к соответствующим элементам других строк...


Всё правильно. Но порядок определителя при этом не изменится !.

А мне интересен факт: определитель N-го порядка равен определителю (N+1)-го порядка (не буквально, а в данном случае !).

Автор:  Andy [ 26 авг 2014, 06:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

Amateur_3D писал(а):
Цитата:
...определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае ), прибавить к соответствующим элементам других строк...


Всё правильно. Но порядок определителя при этом не изменится !.

А мне интересен факт: определитель N-го порядка равен определителю (N+1)-го порядка (не буквально, а в данном случае !).

Amateur_3D, определители - это числа. Поэтому я не вижу ничего удивительного. :oops: Впрочем, и предмет для дискуссии отсутствует.

Автор:  mad_math [ 26 авг 2014, 09:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

Amateur_3D писал(а):
Цитата:
...определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае ), прибавить к соответствующим элементам других строк...


Всё правильно. Но порядок определителя при этом не изменится !.

А мне интересен факт: определитель N-го порядка равен определителю (N+1)-го порядка (не буквально, а в данном случае !).
Разложение определителя по строке\столбцу смотрите.

Автор:  vvvv [ 26 авг 2014, 09:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы

Amateur_3D писал(а):
Цитата:
...определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае ), прибавить к соответствующим элементам других строк...


Всё правильно. Но порядок определителя при этом не изменится !.

А мне интересен факт: определитель N-го порядка равен определителю (N+1)-го порядка (не буквально, а в данном случае !).

Попробуйте доказать этот факт без фактического вычисления определителей :)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/