Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 24 авг 2014, 17:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2014, 15:58
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На форумах уравнение плоскости, составленное по 3-м точкам, выглядит так:

[math]\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{x - {x_1}}&{y - {y_1}}&{z - {z_3}}\\{{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}}\\{{x_3} - {x_1}}&{{y_3} - {y_1}}&{{z_3} - {z_1}}\end{array}}\right|= 0[/math]

но есть и в виде матрицы 4x4:

[math]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y&z&1\\{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&1\\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&1\\{{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}}&1\end{array}} \right| = 0[/math] .

Как эта матрица получается из выражения выше ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 24 авг 2014, 19:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Во-первых, это не матрицы,а определители.
Во-вторых, эти определители равны.
Можете в качестве упражнения проделать вычисления и убедиться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 24 авг 2014, 21:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2014, 15:58
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
То что они равны это ясно из равенства обоих формул (определителей) нулю. Это смешанное прозведение векторов.
Меня интересует как получилась вторая формула из первой. Выкладки если можно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 25 авг 2014, 01:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Amateur_3D писал(а):
То что они равны это ясно из равенства обоих формул (определителей) нулю. Это смешанное прозведение векторов.
Меня интересует как получилась вторая формула из первой. Выкладки если можно.

Они равны тождественно. Если переменным придать одни и те же значения, то определители не обязательно будут равны нулю.
Может получиться любое число, но одно и то же в обоих определителях.
Повторяю, проделайте вычисления- получите одно и то же выражение в обоих определителях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 25 авг 2014, 22:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2014, 15:58
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё я кажется разобрался. Но тогда уже несколько уклоняясь от заданной темы.

Определитель для единичной матрицы: [math]\left| {a - {a_1}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&1\\{{a_1}}&1\end{array}}\right|[/math]

Определитель для матрицы "2 на 2": [math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - {a_1}}&{b - {b_1}}\\{{a_2} - {a_1}}&{{b_2} - {b_1}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&1\\{{a_1}}&{{b_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&1\end{array}} \right|\][/math]

Определитель для матрицы "3 на 3": [math]\[\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{a - {a_1}}&{b - {b_1}}&{c - {c_1}}\\{{a_2} - {a_1}}&{{b_2} - {b_1}}&{{c_2} - {c_1}}\\{{a_3} - {a_1}}&{{b_3}-{b_1}}&{{c_3} - {c_1}}\end{array}} \right| = \left|{\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c&1\\{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}&1\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}&1\end{array}} \right|\][/math]

Знак "=" - равны тождественно (если что).

Как замечательно можно избавится от разностей в элементах определителя .

Это интересное свойство (замечание) нигде не объясняется и не рассматривается "на пальцах".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 25 авг 2014, 23:31 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22356
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Amateur_3D писал(а):
Всё я кажется разобрался. Но тогда уже несколько уклоняясь от заданной темы.

Определитель для единичной матрицы: [math]\left| {a - {a_1}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&1\\{{a_1}}&1\end{array}}\right|[/math]

Определитель для матрицы "2 на 2": [math]\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - {a_1}}&{b - {b_1}}\\{{a_2} - {a_1}}&{{b_2} - {b_1}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&1\\{{a_1}}&{{b_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&1\end{array}} \right|\][/math]

Определитель для матрицы "3 на 3": [math]\[\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{a - {a_1}}&{b - {b_1}}&{c - {c_1}}\\{{a_2} - {a_1}}&{{b_2} - {b_1}}&{{c_2} - {c_1}}\\{{a_3} - {a_1}}&{{b_3}-{b_1}}&{{c_3} - {c_1}}\end{array}} \right| = \left|{\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c&1\\{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}&1\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}&1\end{array}} \right|\][/math]

Знак "=" - равны тождественно (если что).

Как замечательно можно избавится от разностей в элементах определителя .

Это интересное свойство (замечание) нигде не объясняется и не рассматривается "на пальцах".

Amateur_3D, воспользуйтесь тем, что определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае [math]-1[/math]), прибавить к соответствующим элементам других строк, и разложите полученный определитель по элементам последнего столбца. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 26 авг 2014, 05:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2014, 15:58
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
...определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае ), прибавить к соответствующим элементам других строк...


Всё правильно. Но порядок определителя при этом не изменится !.

А мне интересен факт: определитель N-го порядка равен определителю (N+1)-го порядка (не буквально, а в данном случае !).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 26 авг 2014, 06:42 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22356
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Amateur_3D писал(а):
Цитата:
...определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае ), прибавить к соответствующим элементам других строк...


Всё правильно. Но порядок определителя при этом не изменится !.

А мне интересен факт: определитель N-го порядка равен определителю (N+1)-го порядка (не буквально, а в данном случае !).

Amateur_3D, определители - это числа. Поэтому я не вижу ничего удивительного. :oops: Впрочем, и предмет для дискуссии отсутствует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 26 авг 2014, 09:34 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Amateur_3D писал(а):
Цитата:
...определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае ), прибавить к соответствующим элементам других строк...


Всё правильно. Но порядок определителя при этом не изменится !.

А мне интересен факт: определитель N-го порядка равен определителю (N+1)-го порядка (не буквально, а в данном случае !).
Разложение определителя по строке\столбцу смотрите.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поясните как получить уравнение плоскости в виде матрицы
СообщениеДобавлено: 26 авг 2014, 09:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Amateur_3D писал(а):
Цитата:
...определитель не изменится, если элементы некоторой строки, умноженные на некоторое число (в данном случае ), прибавить к соответствующим элементам других строк...


Всё правильно. Но порядок определителя при этом не изменится !.

А мне интересен факт: определитель N-го порядка равен определителю (N+1)-го порядка (не буквально, а в данном случае !).

Попробуйте доказать этот факт без фактического вычисления определителей :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как получить уравнения прямой в каноническом виде?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

adeptus7

21

853

01 янв 2017, 19:47

Возможно ли получить формулу ответа в общем виде

в форуме Интегральное исчисление

studentxxxx

18

623

06 мар 2017, 15:47

Получить верхнюю диагональную матрицу для матрицы А

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

lonsdale5552

1

189

23 окт 2019, 21:54

Поясните как решить несколькими способами данное уравнение

в форуме Алгебра

victoria miros

2

326

18 фев 2023, 14:43

Получить характеристическое уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Cartel

6

341

01 окт 2020, 19:57

Получить параметрическое уравнение кривой

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

John_P

1

311

03 май 2020, 19:47

Получить уравнение траектории точки

в форуме Механика

_Help_

0

305

21 фев 2022, 20:41

Из системы двух плоскостей получить уравнение прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Panda1377

1

380

12 май 2015, 21:00

Уравнение плоскости, перпендикулярной другой плоскости

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Purple

1

436

03 дек 2016, 08:53

Написать уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

__stormyb

0

492

05 мар 2019, 03:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved