Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Параметрическое уравнение конуса в неканоническом базисе
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=34209
Страница 1 из 2

Автор:  hspace [ 07 июн 2014, 18:31 ]
Заголовок сообщения:  Параметрическое уравнение конуса в неканоническом базисе

Подскажите, как составить параметрическое уравнение кругового конуса в неканоническом положении, зная координаты начала [math]A(x_A,y_A,z_A)[/math] и конца [math]B(x_B,y_B,z_B)[/math] его оси?

пожалуйста нужно в проге рисовать стрелки-наконечники для 3d-векторов.

Автор:  Alexdemath [ 07 июн 2014, 21:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

Здесь нужно поколдовать с поворотом координат и сечь сферу плоскостью :%)
Вроде так.
Направляющий вектор оси конуса:

[math]\vec{n}= \{a,b,c\}[/math], где [math]a = x_B- x_A,~b = y_B-y_A,~ c = z_B-z_A[/math].

Уравнение оси

[math]AB\colon \frac{x-x_A}{a}= \frac{y-y_A}{b}= \frac{z-z_A}{c}[/math]

Искомое параметрическое уравнение части кругового конуса с осью [math]AB[/math] между точками [math]A(x_A,y_A,z_A),\, B(x_B,y_B,z_B)[/math] с вершиной в точке [math]B(x_B,y_B,z_B)[/math] имеет вид

[math]\left\{\begin{gathered}x(h,t) = x_B - h\cdot\!\left(a + \frac{r}{\sqrt{a^2+c^2}}\!\left(c\cos t - \frac{ab\sin t}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)\!\right)\!, \hfill \\ y(h,t) = y_B - h\cdot\!\left(b + \frac{r\sqrt{a^2 + c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\sin t\right)\!, \hfill \\ z(h,t) = z_B - h\cdot\!\left(c - \frac{r}{\sqrt{a^2+ c^2}}\!\left(a\cos t + \frac{bc\sin t}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)\! \right)\!, \hfill \\ \end{gathered}\right.\begin{array}{*{20}{l}}r = \text{const}> 0,\\[4pt] h \in [0;1],\\[6pt] t \in [0;2\pi ).\end{array}[/math]

где параметр [math]r[/math] - радиус основания конуса, [math]h[/math] - высота конуса (при [math]h=1[/math] конус полностью накроет свою ось).
Думаю, в случае [math]a=c=0[/math] догадаетесь, что делать.

Вообще такое хорошо решает vvvv :)

Пример процедуры для построения вектора в пространстве в Maple 17 с помощью этих формул

r := 2:
xA := 1: yA := -1: zA := 1:
xB := 4: yB := 4: zB := 4:
a := xB-xA:
b := yB-yA:
c := zB-zA:

x(h,t) := xB - h * ( a + r/sqrt(a^2+c^2) * (c*cos(t) - a*b*sin(t)/sqrt(a^2+b^2+c^2)) ):
y(h,t) := yB - h * ( b + r * sqrt(a^2+c^2) * sin(t) / sqrt(a^2+b^2+c^2) ):
z(h,t) := zB - h * ( c - r/sqrt(a^2+c^2) * (a*cos(t) + b*c*sin(t)/sqrt(a^2+b^2+c^2)) ):

with(plots):
with(plottools):
v1 := plot3d([x(h,t), y(h,t), z(h,t)], h = 0..0.15, t = 0..2*Pi, color = blue,
style = surface, transparency = 0.25, lightmodel = "light1"
):
display(v1, line([xA,yA,zA], [xB,yB,zB], color = blue), view = [-1..5, -3..5, -1..5],
orientation = [-18, 66, 0], axes = normal, scaling = constrained
);

Автор:  differencial [ 07 июн 2014, 22:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

ух ты!

а что значит "НЕКАНОНИЧЕСКОЕ ПОЛОЖЕНИЕ" конуса?

это в какой позе?

простите

Автор:  Alexdemath [ 07 июн 2014, 23:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

differencial писал(а):
а что значит "НЕКАНОНИЧЕСКОЕ ПОЛОЖЕНИЕ" конуса?

Я так понимаю, что автор темы имел ввиду неканонический базис пространства [math]\mathbb{R}^3[/math], в смысле, что конус смещён и повернут по-всякому относительно канонического базиса.

Автор:  differencial [ 07 июн 2014, 23:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

спасибо)


а анимации в Мэпле можно в Ютуб выкладывать?

Автор:  vvvv [ 07 июн 2014, 23:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

У меня немного по-другому."Канонический" конус поворачивается вокруг оси ОХ и вокруг оси OZ на заданные углы.
Тем самым он может быть повернут относительно начала координат в любое положение. См.картинку.
Изображение

Автор:  Alexdemath [ 08 июн 2014, 11:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

differencial писал(а):
а анимации в Мэпле можно в Ютуб выкладывать?

Конечно. Uncle Fedor так и делает http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=185920#p185920

vvvv писал(а):
У меня немного по-другому."Канонический" конус поворачивается вокруг оси ОХ и вокруг оси OZ на заданные углы.
Тем самым он может быть повернут относительно начала координат в любое положение. См.картинку.

Это надо знать углы. У автора темы, я так понимаю, известны только две точки оси конуса.

Автор:  vvvv [ 08 июн 2014, 13:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

Alexdemath писал(а):
differencial писал(а):
а анимации в Мэпле можно в Ютуб выкладывать?

Конечно. Uncle Fedor так и делает http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=185920#p185920

vvvv писал(а):
У меня немного по-другому."Канонический" конус поворачивается вокруг оси ОХ и вокруг оси OZ на заданные углы.
Тем самым он может быть повернут относительно начала координат в любое положение. См.картинку.

Это надо знать углы. У автора темы, я так понимаю, известны только две точки оси конуса.

А разве ось конуса имеет начало и конец? Постановка задачи ТС, вообще, некорректна!
Чтобы задать конус, нужно указать направление оси, координаты вершины и параметр конуса к.

Автор:  Alexdemath [ 08 июн 2014, 13:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

vvvv, если рассматривать конус как геометрическую фигуру, а не как поверхность, образованную вращающимся лучом, тогда более-менее корректно у ТС. В Википедии об этом упоминается в определении конуса

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание).

То есть у автора темы, скорее всего, [math]A(x_A,y_A,z_A)[/math] - центр окружности основания конуса, [math]B(x_B,y_B,z_B)[/math] - вершина конуса.

Автор:  vvvv [ 08 июн 2014, 13:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Параметрическое уравнение конуса в неканоническом положении

Цитата:
То есть у автора темы, скорее всего, A(x_A,y_A,z_A) - центр окружности основания конуса, B(x_B,y_B,z_B) - вершина конуса.

А окружность какого радиуса?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/