Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Построить кривую второго порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33436
Страница 1 из 1

Автор:  Chevy2 [ 18 май 2014, 03:39 ]
Заголовок сообщения:  Построить кривую второго порядка

[math]14x^{2}+24xy+21y^{2}-4x+18y-139=0[/math]

Автор:  3D Homer [ 19 май 2014, 20:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить кривую второго порядка

Алгоритм см. здесь (метод поворота и выделения полного квадрата) или здесь (метод инвариантов). Нарисовать кривую для проверки множно здесь (просто вводите уравнение слева).

Автор:  Alexdemath [ 19 май 2014, 21:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Построить кривую второго порядка

Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением кривой второго порядка

[math]a_{11}\cdot x^2+2\cdot a_{12}\cdot x\cdot y+a_{22}\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x+2\cdot a_2\cdot y+a_0=0,[/math]

находим коэффициенты

[math]a_{11}= 14,\quad 2a_{12}= 24,\quad a_{22}= 21,\quad 2a_1 = - 4,\quad 2a_2= 18,\quad a_0 = 139[/math]

Поскольку в заданном уравнении имеется произведение неизвестных [math](a_{12}=12\ne0)[/math], поэтому необходимо сделать поворот системы координат на угол [math]\varphi~\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2},~ \sin \varphi> 0,\cos \varphi > 0\right)[/math]

[math]\begin{gathered}\operatorname{ctg}2\varphi = \frac{{{a_{11}}-{a_{22}}}}{{2{a_{12}}}}= \frac{{14 - 21}}{{24}}= \frac{{- 7}}{{24}}\Leftrightarrow \operatorname{tg}2\varphi = - \frac{{24}}{7}\Leftrightarrow \frac{{2\operatorname{tg}\varphi}}{{1 -{{\operatorname{tg}}^2}\varphi}}= - \frac{{24}}{7}\hfill \\ \operatorname{tg}\varphi = t > 0 \hfill \\ \frac{{2t}}{{1 -{t^2}}}= - \frac{{24}}{7}\Rightarrow 12{t^2}- 7t - 12 = 0 \Rightarrow t = \operatorname{tg}\varphi = \frac{4}{3}\hfill \\ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\varphi}}= \frac{1}{\sqrt{1 +(4\!\!\not{\phantom{|}}\,3)^2}}= \frac{3}{5}\hfill \\ \sin \varphi = \sqrt{1 -\cos^2\varphi}= \sqrt{1 -{{\left({\frac{3}{5}}\right)}^2}}= \frac{4}{5}\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Делаем поворот системы координат

[math]\left\{\begin{gathered}x = x_1\cos \varphi - y_1\sin \varphi = \frac{3}{5}x_1 - \frac{4}{5}y_1, \hfill \\ y = x_1\sin \varphi + y_1\cos \varphi = \frac{4}{5}x_1 + \frac{3}{5}y_1. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

[math]14{\left({\frac{3x_1 - 4y_1}{5}}\right)^2}+ 21\left({\frac{{3x_1 - 4y_1}}{5}}\right)\!\!\left({\frac{{4x_1 + 3y_1}}{5}}\right) +{\left({\frac{4x_1 + 3y_1}{5}}\right)^2}- 3\left({\frac{{3x_1 - 4y_1}}{5}}\right) + 18\left({\frac{{4x_1 + 3y_1}}{5}}\right) - 139 = 0[/math]

Или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,

[math]30x_1^2 + 12x_1 + 5y_1^2 + 14y_1- 139 = 0[/math]

Выделив полные квадраты, имеем

[math]30\!\left(x_1+\frac{1}{5}\right)^2+5\!\left(y_1+\frac{7}{5}\right)^2-150=0[/math]

Дальше, думаю, справитесь самостоятельно.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/