| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33229 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | hanna [ 10 май 2014, 19:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой |
Помогите, пожалуйста, найти уравнение прямой, проходящей через точку M(2,3,1) и перпендикулярно прямой [math]\frac{ x+1 }{ 2 } =\frac{ y }{ -1 } =\frac{ z-2 }{ 3 }[/math] Как на плоскости решать такое понятно, в пространстве не знаю
|
|
| Автор: | hanna [ 10 май 2014, 20:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой |
Разве не через пересекающиеся плоскости нужно находить искомую прямую? |
|
| Автор: | vvvv [ 11 май 2014, 11:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой |
Вообще говоря , задача поставлена некорректно т.к. таких прямых бесконечно много. Если бы в условии задачи было дополнительно "... и пресекающую данную прямую". Тогда задача была бы корректна (однозначна). Добавьте это условие и найдите такую прямую, она будет отвечать условию задачи. Сделайте так: 1.Через заданную точку проведите плоскость, перпендикулярную заданной прямой. 2.Найдите точку пересечения заданной прямой и построенной плоскости. 3.Проведите прямую через заданную и найденную точки - это будет искомая прямая. Желаю успеха. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 11 май 2014, 12:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой |
Скорее всего, vvvv прав: подразумевается, что прямые должны пересекаться. Тогда ещё можно решить, используя условие ортогональности прямых [math]a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0[/math] и необходимое условие пересечения прямых [math]\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}=0[/math] Данная прямая: [math]\frac{ x-(-1) }{ 2 } =\frac{ y-0 }{ -1 } =\frac{ z-2 }{ 3 }[/math], искомая прямая: [math]\frac{x-2}{a_2}=\frac{y-3}{b_2}=\frac{z-1}{c_2}[/math]. [math]\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2-(-1) & 3-0 & 1-2 \\ 2 & -1 & 3 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}=\ldots=8a_2-11b_2-9c_2=0[/math] [math]a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=2a_2-b_2+3c_2=0[/math] Следовательно, направляющий вектор [math]\vec{n}_2=\{a_2,b_2,c_2\}[/math] искомой прямой совпадает с направляющим вектором [math]\vec{n}[/math] прямой [math]\begin{cases}8x-11y-9z=0,\\ 2x-y+3z=0.\end{cases}[/math] [math]\vec{n}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & -11 & -9 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}=\ldots[/math] |
|
| Автор: | vvvv [ 11 май 2014, 16:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой |
Задачу можно решить гораздо проще, если заметить, что точка, принадлежащая заданной прямой M1(-1;0;2), есть точка пересечения искомой прямой с заданной . Т.е. сразу записываем каноническое уравнение искомой прямой ![]() [math](x-2)/3=(y-3)/3=(z-1)/-1[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 11 май 2014, 16:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой |
vvvv, это частный случай, преподу может не понравиться. |
|
| Автор: | vvvv [ 11 май 2014, 17:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой |
Alexdemath писал(а): vvvv, это частный случай, преподу может не понравиться. Напротив, показав, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю, что доказывает совпадение точки пересечения прямых с точкой, заданной в уравнении прямой ТС покажет понимание предмета, а преподаватель больше таких уравнений давать не будет (частных случаев) Хотя, может он такое уравнение дал специально.
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 12 май 2014, 10:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение прямой через точку перпендикулярно к прямой |
Нашел в учебничке: Если [math]\ell_2\perp\ell_1~(\ell_1\cap \ell_2\ne\varnothing)[/math], где [math]\ell_1\colon \frac{x-x_1}{a_1}= \frac{y-y_1}{b_1}= \frac{z-z_1}{c_1},~ \ell_2\colon \frac{x-x_2}{a_2}= \frac{y-y_2}{b_2}= \frac{z-z_2}{c_2}[/math], [math]M_1(x_1,y_1,z_1),~M_2(x_2,y_2,z_2),~\vec{n}_1= \{a_1,b_1,c_1\},~\vec{n}_2= \{a_2,b_2,c_2\}[/math], [math]\overrightarrow{M_1M_2}= \{x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\}[/math], то [math]\vec{n}_2= \bigl[\vec{n}_1\times \bigl[\overrightarrow{M_1M_2}\times \vec{n}_1\bigr]\bigr][/math]. В принципе также, как я и предлагал, только у меня чуть понятней
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|