Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Касательная плоскость к сферам
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032
Страница 3 из 3

Автор:  Masterov [ 17 дек 2014, 17:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

[math]A=\frac{B(Y_2Z_1-\xi Z_2Y_1)-\beta h_2Z_1+\alpha\xi Z_2h_1}{\xi Z_2X_1-X_2Z_1}[/math]


Нужно помнить, что означают греческие буквы +1 или -1.

Как решать дальше?

Для одних и тех же значений [math](B, X_1, Y_1, Z_1, X_2, Y_2, Z_2)[/math] имеется несколько значений A.
[math]A_i\ =>\ (\alpha_i, \beta_y_i,\xi_i)[/math]

[math]A_0\ =>\ (+,+,+)[/math]
[math]A_1\ =>\ (-,+,+)[/math]
[math]A_2\ =>\ (+,-,+)[/math]
[math]A_3\ =>\ (-,-,+)[/math]
[math]A_4\ =>\ (+,+,-)[/math]
[math]A_5\ =>\ (-,+,-)[/math]
[math]A_6\ =>\ (+,-,-)[/math]
[math]A_7\ =>\ (-,-,-)[/math]

Т.е., следует рассмотреть восемь значений параметра A.

[math]A_0=\frac{B(Y_2Z_1- Z_2Y_1)-h_2Z_1+Z_2h_1}{Z_2X_1-X_2Z_1}[/math]
...
....

[math]A_7=-\frac{B(Y_2Z_1+Z_2Y_1)+h_2Z_1+Z_2h_1}{Z_2X_1+X_2Z_1}[/math]


Это значит, что задача может иметь до восьми решений.

Автор:  Masterov [ 18 дек 2014, 13:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

Мы получили:
Т.е., следует рассмотреть восемь значений параметра A.

[math]A_0(B)=\frac{B(Y_2Z_1- Z_2Y_1)-h_2Z_1+Z_2h_1}{Z_2X_1-X_2Z_1}[/math]
...
....

[math]A_7(B)=-\frac{B(Y_2Z_1+Z_2Y_1)+h_2Z_1+Z_2h_1}{Z_2X_1+X_2Z_1}[/math]


Но это не ответ. Ответ мы получим после того, как подставим эти выражения в одно из двух (любое) уравнений системы, которую выписывали раньше:
[math]\left\{ \begin{gathered}
(1-A^2-B^2)Z_1^2\ =(\pm h_1-AX_1-BY_1)^2\\(1-A^2-B^2)Z_2^2\ =(\pm h_2-AX_2-BY_2)^2
\end{gathered}\right[/math]


Подставим в первое:
[math](1-A_i^2(B)-B^2)Z_1^2\ =(\alpha_i h_1-A_i(B)X_1-BY_1)^2[/math]


Отсюда мы сможем получить значения [math]B_i[/math].
Причём, каждому [math]A_i[/math] будет соответствовать пара [math]B_i[/math]-тых,
поскольку нам предстоит решать квадратное уравнение.

Автор:  Masterov [ 18 дек 2014, 13:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

Обратите внимание на то, что [math]A_i[/math] - линейная функция [math]B[/math].
А именно:

[math]A_i=K_iB+D_i[/math]


Где
[math]K_i=\frac{Y_2Z_1-\xi_i Z_2Y_1}{\xi_i Z_2X_1-X_2Z_1}[/math]
[math]D_i=\frac{-\beta_i h_2Z_1+\alpha_i\xi_i Z_2h_1}{\xi_i Z_2X_1-X_2Z_1}[/math]

Подставим и получим:
[math](1-(K_iB+D_i)^2-B^2)Z_1^2\ =(\alpha_i h_1-(K_iB+D_i)X_1-BY_1)^2[/math]


Теперь нужно возвести в квадрат и привести подобные, чтобы получить выражение, типа:

[math]a_iB^2+b_iB+c_i=0[/math]


Выписывать значения коэффициентов этого квадратного уравнения я не стану.
(Кому интересно - сделайте это сами.)
Ну а находить пару корней квадратного уравнения я вас учить не буду.
(Уверен - вы это умеете делать.)

Замечу только, то каждому [math]i[/math] будет соответствовать пара значений [math]B[/math].
В итоге мы получим 16 вариантов ответов.
Некоторые пары могут оказаться комплексными.
Мы их отбросим.
Те, которые останутся - запишем в ответ.

Автор:  Masterov [ 18 дек 2014, 13:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

Зачем нужны подобные вычисления?
За что платят зарплату математику?

Чтобы ответить на этот вопрос, я должен бы углубиться в какую нибудь техническую проблему и на её примере продемонстрировать эффективность работы проделанных вычислений. Но это будет долго и скорей запутает читателя, чем что-то объяснит.

Давайте мы рассмотрим гипотетическую ситуацию из "Звёздных Войн".

Вы - штурман космического корабля, участвующего в атаке на вражеский эсминец.
Вокруг эсминца расположены роботизированные системы, которые уничтожают всё, что представляет опасность эсминцу, если угроза оказывается в зоне досягаемости робота.

Задача штурману: проложить траектории торпед таким образом, чтобы они прошли в зонах, до которых не дотягиваются роботы, защищающие эсминец.

В таком случае математик должен предоставить штурману программу, внося в которую данные о местоположении и скорости вашего корабля и параметров торпед, местоположении эсминца и роботов, штурман получит варианты путей для атаки.

Возможно подобным алгоритмом будет владеть сама торпеда, если сможет получать параметры (координаты и скорости) атакуемых объектов. Тогда торпеда станет системой с искусственным интеллектом. В результате выше приведённых вычислений и рождаются подобные программы.

Вот так работает современная техника и так создаются современные технологии.

Удачи тебе, будущий математик.
И помни: Математика - язык, на котором говорят и думают волшебники.

Страница 3 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/