Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Касательная плоскость к сферам
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=33032
Страница 1 из 3

Автор:  gashik [ 04 май 2014, 17:42 ]
Заголовок сообщения:  Касательная плоскость к сферам

Есть большая сфера. На ее поверхности лежат 2 меньшие сферы(центры сфер на поверхности). Как провести плоскость касательную(внешнюю) к двум меньшим сферам, проходящую через центр большой сферы. Даны радиусы и координаты центров, а так же найдены точки пересечения малых сфер с большой.

Автор:  Dotsent [ 04 май 2014, 19:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

Пусть О - центр большой сферы, А и В - центры малых, А - наибольшей из малых. (если малые сферы равны, построите плоскость сами), альфа - плоскость центров сфер.

Вначале найдите вершину конуса, общего касательного к малым сферам. Для этого в любой пл-ти центров малых сфер рисуете прямоугольный тр-к с гипотенузой АВ и катетом = разности малых радиусов, а потом ему подобный тр-к АМС (где М лежит на АВ) так, что АС=радиусу большей из малых сфер. М - искомая вершина конуса.

На ОМ опускаете перпендикуляр из т. А. В плоскости бетта, проходящей через этот перпендикуляр и перпендикулярной альфа находите третью точку искомой плоскости, построив на нём (перпендикуляре) прямоуг. тр-к, как на гипотенузе.

Автор:  vvvv [ 05 май 2014, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

Начнем с того, что в общем случае таких плоскостей может быть четыре.
Вот один из возможных случаев. См картинку.
Изображение

Автор:  Dotsent [ 06 май 2014, 05:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

В общем случае, vvvv, только 2. А четыре - в частном случае, когда малые сферы не пересекаются, и у них поэтому есть 2 касающихся обеих сфер конуса.

А ещё есть частные случаи, когда их (плоскостей) гораздо больше, например, если малые сферы равны и лежат на одном диаметре большой сферы.

А если при этом малые сферы не равны, то таких плоскостей нет, т.е. в общем случае, построение невозможно. :%)

Автор:  vvvv [ 06 май 2014, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

А с чего это вы решили, что две-это общий случай, четыре-частный?

Автор:  Dotsent [ 06 май 2014, 20:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

Да нет, 2 - тоже частный, я ошибся. :blush:

Автор:  vvvv [ 06 май 2014, 20:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

,,,

Автор:  vvvv [ 07 май 2014, 20:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

Во-первых, центр большой сферы удобно поместить в начало координат.
Во-вторых, записать систему 6 уравнений с шестью неизвестными (две точки касания по три координаты)- не проблема.
Проблема -получить четыре решения этой системы.
Вот попробуйте сделать числовой пример.Расположить сферы так, чтобы было четыре решения.
Удачи.

Автор:  vvvv [ 08 май 2014, 00:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

Вообще-то, имелось в виду решение найти аналитически.
Но не важно - вычисления правильные.
По вашим данным построил картинку- все четыре плоскости касаются обеих сфер!
См.картинку.
Изображение

Автор:  Dotsent [ 08 май 2014, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Касательная плоскость к сферам

vvvv писал(а):
Вообще-то, имелось в виду решение найти аналитически.


А, по-моему, имелось в виду построить......

Зачем же дубасить линейкой тут , задачка то простая, и делается в 2 действия:

Есть еще другой вариант построения с "перевёрнытым" конусом и, соответственно, циллиндром, когда малые сферы равны.

Построение, очевидно, возможно, когда одна из малых сфер не прячется целиком в другую и центр большой сферы не попадает в один из конусов (см. построение).
Условие, конечно, не корректное, но это всё равно не повод , чтобы бить по ней линейкой.

[/url]ИзображениеИзображение
Изображение Изображение

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/