Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Приведение уравнения КВП к каноническому виду
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=31321
Страница 1 из 1

Автор:  spirt1g [ 01 мар 2014, 20:22 ]
Заголовок сообщения:  Приведение уравнения КВП к каноническому виду

доброго времени суток всем
дано уравнение [math]3{x^2} - 2\sqrt 3 xy + {y^2} + 4 = 0[/math]
нужно его привести к каноническому виду, я изучил теоретические материалы, данные на этом сайте, всё довольно доступно объяснено, но там рассматриваются примеры для центральной кривой, а как быть если она нецентральная?
те [math]{a_{11}} \cdot {a_{22}} - a_{12}^2 = 0[/math]

Автор:  mad_math [ 01 мар 2014, 20:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду

Она у вас вообще мнимая. Это две мнимых параллельных прямых.

Автор:  spirt1g [ 01 мар 2014, 23:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду

mad_math писал(а):
Она у вас вообще мнимая. Это две мнимых параллельных прямых.

не спорю, а как придти к этому?

Автор:  mad_math [ 02 мар 2014, 01:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду

Заметить, что выражение [math]3x^2-2\sqrt{3}xy+y^2[/math] является полным квадратом.

Автор:  spirt1g [ 02 мар 2014, 13:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду

mad_math писал(а):
Заметить, что выражение [math]3x^2-2\sqrt{3}xy+y^2[/math] является полным квадратом.

мне кажется этого мало, а где новый центр?
я дошёл вот до этого момента
тк [math]{a_{12}} = - \sqrt 3 \ne 0[/math], то делаем поворот системы на угол [math]\varphi[/math]
[math]ctg2\varphi = \frac{{{a_{11}} - {a_{22}}}}{{2{a_{12}}}} = \frac{{3 - 1}}{{ - 2\sqrt 3 }} = \frac{2}{{ - 2\sqrt 3 }} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{3}[/math]
далее подставим в формулы поворота:
[math]\left\{ \begin{gathered} x = x'cos\varphi - y'sin\varphi \hfill \\ y = x'sin\varphi + y'\cos \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
то есть:
[math]\left\{\begin{gathered}x = \frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3}}{2}y' \hfill \\ y = \frac{{\sqrt 3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]
подставим в исходные формулы и получим:
[math]\begin{gathered} 3{(\frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3 }}{2}y')^2} - 2\sqrt 3 (\frac{1}{2}x' - \frac{{\sqrt 3 }}{2}y')(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x' + \frac{1}{2}y') + {(\frac{{\sqrt 3 }}{2}x' + \frac{1}{2}y')^2} + 4 = 0 \hfill \\ 3(\frac{1}{4}{(x')^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x'y' + \frac{3}{4}{(y')^2}) - 2\sqrt 3 (\frac{{\sqrt 3 }}{4}{(x')^2} + \frac{1}{4}x'y' - \frac{3}{4}x'y' + \frac{{\sqrt 3 }}{4}{(y')^2}) + (\frac{3}{4}{(x')^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x'y' + \frac{1}{4}{(y')^2}) + 4 = 0 \hfill \\ \frac{{(3{{(x')}^2} - 6\sqrt 3 x'y' + 9{{(y')}^2})}}{4} - \frac{{(6{{(x')}^2} + 4\sqrt 3 x'y' - 6\sqrt 3 {{(y')}^2})}}{4} + \frac{{(3{{(x')}^2} + 2\sqrt 3 x'y' + {{(y')}^2})}}{4} + 4 = 0 \hfill \\ 8\sqrt 3 x'y' + (10 - 6\sqrt 3 )y{'^2} + 16 = 0 \hfill \\\end{gathered}[/math]
получилось как-то так) что дальше делать?
и вообще, ход мыслей у меня хотя бы правильный?

Автор:  mad_math [ 02 мар 2014, 16:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду

spirt1g писал(а):
мне кажется этого мало, а где новый центр?
А вы считаете, что у параллельных прямых может быть один центр? :shock:

Автор:  mad_math [ 02 мар 2014, 16:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду

spirt1g писал(а):
получилось как-то так) что дальше делать?
Поворот делается для того, чтобы избавиться от произведения [math]xy[/math], а у вас оно осталось. Выделите полный квадрат и не мучайтесь.

Автор:  spirt1g [ 02 мар 2014, 16:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду

смотрите:
[math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math]
это параллельные прямые, как их "нарисовать"
и про центр я имел ввиду, где новое начало координат

Автор:  mad_math [ 02 мар 2014, 18:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение уравнения КВП к каноническому виду

spirt1g писал(а):
смотрите:
[math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math]
это параллельные прямые, как их "нарисовать"
Никак. Они же мнимые.

spirt1g писал(а):
и про центр я имел ввиду, где новое начало координат
Там же, где и старое. Тут только поворот системы координат нужен. Формулы поворота вы нашли.
Можно было их найти из полученного:
[math]{(\sqrt 3 x - y)^2} = - 4[/math], следовательно, уравнения прямых

[math]\sqrt 3 x - y=\pm 2i[/math] или

[math]y=\sqrt 3 x \pm 2i[/math]

Откуда угловой коэффициент: [math]k=\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{3}[/math], тогда
[math]\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{\operatorname{tg}^2\alpha+1}}=\pm\frac{1}{2},\,\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

И формулы поворота:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& x=\frac{x'}{2}-\frac{\sqrt{3}y'}{2}\\ & y=\frac{\sqrt{3}x'}{2}+\frac{y'}{2}\end{aligned}\right.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/