Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать приведённую формулу(расстояние между скр. прямыми)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=30364
Страница 1 из 1

Автор:  tetroel [ 18 янв 2014, 19:05 ]
Заголовок сообщения:  Доказать приведённую формулу(расстояние между скр. прямыми)

Доброго времени суток.
Есть вот такое задание и оно у меня не хочет получаться. Очень обидно и времени на него уже ушло очень много, а мыслей всё равно никаких. Помогите мне, пожалуйста.

Изображение

Автор:  SzaryWilk [ 19 янв 2014, 03:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать приведённую формулу(расстояние между скр. прямыми)

Используем следующую теорему.

Теорема. Ортогональная проекция вектора [math]\vec{x}[/math] на вектор (направление) [math]\vec{v}[/math] равна

[math]P_{\vec{v}}(\vec{x})=\frac{\vec{x}\circ \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}[/math]


Изображение

где
[math]\circ[/math] - скалярное произведение
[math]|\vec{v}|[/math] - длина вектора [math]\vec{v}[/math]

Теперь перейдем к нашей задаче.
Идея. Давайте возьмем любую точку, лежащую на первой прямой и любую точку, лежащую на второй прямой. Теперь спроецируем вектор [math]\vec{x}[/math], который соединяет эти точки, на вектор (направление) [math]\vec{v}[/math], перпендикулярный к каждой из прямых.
Длина получаемого вектора равна искомому расстоянию.

Вычисление. В качестве вектора [math]\vec{x}[/math] берем вектор [math]\vec{r}_2-\vec{r}_1[/math]

В качестве вектора [math]\vec{v}[/math] - вектор [math][\vec{q}_1,\vec{q}_2][/math] (векторное произведение векторов [math]\vec{q}_1[/math] и [math]\vec{q}_2[/math])

Проекция вектора [math]\vec{r}_2-\vec{r}_1[/math] на вектор [math][\vec{q}_1,\vec{q}_2][/math] в силу Tеоремы равна

[math]\frac{(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\circ [\vec{q}_1,\vec{q}_2]}{|[\vec{q}_1,\vec{q}_2]|^2} [\vec{q}_1,\vec{q}_2][/math]


где [math]|[\vec{q_1},\vec{q_1}]|[/math] - длина вектора [math]|[\vec{q_1},\vec{q_1}]|[/math] , а [math]\circ[/math]- скалярное произведение.

Длина этого вектора (искомое расстояние) равна

[math]\Big|\frac{(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\circ [\vec{q}_1,\vec{q}_2]}{|[\vec{q}_1,\vec{q}_2]|^2} [\vec{q}_1,\vec{q}_2]\Big|=\frac{|(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\circ [\vec{q}_1,\vec{q}_2]|}{|[\vec{q}_1,\vec{q}_2]|^2} |[\vec{q}_1,\vec{q}_2]| =\frac{|(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\circ [\vec{q}_1,\vec{q}_2]|}{|[\vec{q}_1,\vec{q}_2]|}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/