| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать приведённую формулу(расстояние между скр. прямыми) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=30364 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | tetroel [ 18 янв 2014, 19:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать приведённую формулу(расстояние между скр. прямыми) |
Доброго времени суток. Есть вот такое задание и оно у меня не хочет получаться. Очень обидно и времени на него уже ушло очень много, а мыслей всё равно никаких. Помогите мне, пожалуйста.
|
|
| Автор: | SzaryWilk [ 19 янв 2014, 03:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать приведённую формулу(расстояние между скр. прямыми) |
Используем следующую теорему. Теорема. Ортогональная проекция вектора [math]\vec{x}[/math] на вектор (направление) [math]\vec{v}[/math] равна [math]P_{\vec{v}}(\vec{x})=\frac{\vec{x}\circ \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}[/math] ![]() где [math]\circ[/math] - скалярное произведение [math]|\vec{v}|[/math] - длина вектора [math]\vec{v}[/math] Теперь перейдем к нашей задаче. Идея. Давайте возьмем любую точку, лежащую на первой прямой и любую точку, лежащую на второй прямой. Теперь спроецируем вектор [math]\vec{x}[/math], который соединяет эти точки, на вектор (направление) [math]\vec{v}[/math], перпендикулярный к каждой из прямых. Длина получаемого вектора равна искомому расстоянию. Вычисление. В качестве вектора [math]\vec{x}[/math] берем вектор [math]\vec{r}_2-\vec{r}_1[/math] В качестве вектора [math]\vec{v}[/math] - вектор [math][\vec{q}_1,\vec{q}_2][/math] (векторное произведение векторов [math]\vec{q}_1[/math] и [math]\vec{q}_2[/math]) Проекция вектора [math]\vec{r}_2-\vec{r}_1[/math] на вектор [math][\vec{q}_1,\vec{q}_2][/math] в силу Tеоремы равна [math]\frac{(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\circ [\vec{q}_1,\vec{q}_2]}{|[\vec{q}_1,\vec{q}_2]|^2} [\vec{q}_1,\vec{q}_2][/math] где [math]|[\vec{q_1},\vec{q_1}]|[/math] - длина вектора [math]|[\vec{q_1},\vec{q_1}]|[/math] , а [math]\circ[/math]- скалярное произведение. Длина этого вектора (искомое расстояние) равна [math]\Big|\frac{(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\circ [\vec{q}_1,\vec{q}_2]}{|[\vec{q}_1,\vec{q}_2]|^2} [\vec{q}_1,\vec{q}_2]\Big|=\frac{|(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\circ [\vec{q}_1,\vec{q}_2]|}{|[\vec{q}_1,\vec{q}_2]|^2} |[\vec{q}_1,\vec{q}_2]| =\frac{|(\vec{r}_2-\vec{r}_1)\circ [\vec{q}_1,\vec{q}_2]|}{|[\vec{q}_1,\vec{q}_2]|}[/math]
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|