Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти координаты точки, зная расстояние
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=30136
Страница 1 из 1

Автор:  Veinar [ 11 янв 2014, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Найти координаты точки, зная расстояние

Точка A лежит на прямой [math]\frac{ x-1 }{ 5 }=\frac{ y }{ 3 }=\frac{ z+1 }{ 5 }[/math]. Расстояние от точки A до плоскости [math]x+y+z=0[/math] равно [math]\sqrt{3}[/math]. Найти координаты точки A.

по формуле расстояния от точки до плоскости получим [math]d=\frac{ | Xo+Yo+Zo | }{ \sqrt{3} }=\sqrt{3}[/math], так как [math]\vec{n}=(1,1,1)[/math]. Следовательно [math]\left| Xo+Yo+Zo \right|=3[/math].

Как найти координаты точки A? Не могу понять.

Ещё подставил точку из уравнения прямой (1,0,-1) в формулу расстояния от точки до плоскости, получилось, что точка лежит на плоскости, а значит это точка пересечения прямой и плоскости, только вот нужна ли эта информация я так и не понял.

Автор:  Andy [ 12 янв 2014, 07:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты точки, зная расстояние

Veinar, я думаю, что существуют две точки, принадлежащие заданной прямой и находящиеся на заданном расстоянии от заданной плоскости. Не вдаваясь в подробности вычислений, могу предложить два способа решения задачи.

Первый способ заключается в том, что нужно найти плоскости, параллельные заданной и расположенные на заданном расстоянии от неё. Затем нужно найти точки пересечения заданной прямой с найденными плоскостями.

Второй способ заключается в том, что находится точка пересечения заданных прямой и плоскости. Затем находятся расстояния от точки [math](1,~0,~-1)[/math] до заданной плоскости и до найденной выше точки. Затем рассматриваются подобные треугольники, расположенные в плоскости, перпендикулярной заданной плоскости, и проходящей через заданную прямую.

Вроде бы так... :crazy:

Автор:  pewpimkin [ 12 янв 2014, 11:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты точки, зная расстояние

Изображение

Вторую точку можно найти исходя из того, что точка В - середина отрезка между двумя искомыми точками(одна найдена уже

Автор:  erjoma [ 12 янв 2014, 12:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты точки, зная расстояние

Предложу еще одно решение.
Если продолжить решение ТС, используя, что точка [math]\left( {{X_0},{Y_0},{Z_0}} \right) \in \frac{{x - 1}}{5} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{5}[/math], то придем к системе
[math]\left\{ \begin{gathered} \left| {{X_0} + {Y_0} + {Z_0}} \right| = 3 \hfill \\ 3{X_0} - 5{Y_0} = 3 \hfill \\ 5{Y_0} - 3{Z_0} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {X_0} + {Y_0} + {Z_0} = 3 \hfill \\ 3{X_0} - 5{Y_0} = 3 \hfill \\ 5{Y_0} - 3{Z_0} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {X_0} + {Y_0} + {Z_0} = - 3 \hfill \\ 3{X_0} - 5{Y_0} = 3 \hfill \\ 5{Y_0} - 3{Z_0} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {X_0} = \frac{{28}}{{13}} \hfill \\ {Y_0} = \frac{9}{{13}} \hfill \\ {Z_0} = \frac{2}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {X_0} = - \frac{2}{{13}} \hfill \\ {Y_0} = - \frac{9}{{13}} \hfill \\ {Z_0} = - \frac{{28}}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Автор:  vvvv [ 12 янв 2014, 13:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты точки, зная расстояние

Можно так. См. картинку.Показаны вычисления для одной точки, для другой аналогично.
Изображение

Исправил.Точки совпадают :)

Автор:  erjoma [ 12 янв 2014, 14:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты точки, зная расстояние

Выше говорилось, что точка [math]\left( {1,0 - 1} \right) \in x + y + z = 0[/math].
Учитывая это, можно найти растояние [math]d_1[/math] между плоскостями [math]x + y + z = 0[/math] и [math]x + y + z + 3\sqrt 3 = 0[/math]
[math]{d_1} = \frac{{\left| {1 + 0 - 1 + 3\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 3[/math]

P.S. В свзи с иправлением сообщения выше, это сообщение не актуально

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/