Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Составить уравнение линии
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=29910
Страница 1 из 1

Автор:  MoonGoosT [ 06 янв 2014, 20:19 ]
Заголовок сообщения:  Составить уравнение линии

Составить уравнение линии, отношение расстояний точек которой до данной точки [math]\boldsymbol{A} \left( 0,2 \right)[/math] и до данной прямой [math]y = 8[/math] равно [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]
Полученное уравнение упростить и построить линию

▼ Мой вариант решения:
Мой вариант решения:

Пусть F(x,y) принадлежит искомой линии
[math]\frac{ AF }{ BF } = \frac{ 1 }{ 2 }[/math]

[math]AF=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}[/math]
[math]BF=y-8[/math]

[math]\frac{ \sqrt{x^2+(y-2)^2} }{ y-8 } = \frac{ 1}{2 }[/math]

[math]y-8=2\sqrt{x^2+(y-2)^2}[/math]

[math](y-8)^2 =4(x^2+(y-2)^2)[/math]

[math](y-8)^2 =4x^2+4(y-2)^2)[/math]

[math]y^2-16y+64=4x^2+4(y^2-4y+4)[/math]

[math]y^2-16y-4x^2-4y^2+16y=16-64[/math]

[math]-4x^2-3y^2=-48[/math]

[math]4x^2+3y^2=48[/math]

[math]\frac{ x^2 }{ 12 } + \frac{ y^2 }{ 16 } = 1[/math]


В моем решении есть ошибка, ее нужно исправить. Помогите, пожалуйста :)

Автор:  Prokop [ 06 янв 2014, 20:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составить уравнение линии

Возможно надо написать
[math]BF = 8 - y[/math]

Автор:  venjar [ 06 янв 2014, 21:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составить уравнение линии

А точно есть ошибка?
Я пока вижу только небольшие неточности.

Точка F явно должна быть ниже прямой у=8, поэтому должно быть BF=8-y.
При избавлении от корня (при возведении в квадрат) для равносильности нужно добавить условие [math]y \leqslant 8[/math].
Но в окончательном уравнении это условие автоматически выполнено, поэтому сам ответ вроде верный.
По экрану пробежал глазами, может чего и не заметил?

Автор:  mad_math [ 06 янв 2014, 21:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составить уравнение линии

venjar писал(а):
сам ответ вроде верный.
И я не вижу ошибки. Если решать другим методом, такое же уравнение вроде бы получается.

Автор:  MoonGoosT [ 06 янв 2014, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составить уравнение линии

Мне сказали, что y-8 должен быть взят под модуль, чтобы расстояние не получалось отрицательным.

А как изменится дальнейшее решение от модуля?

Автор:  venjar [ 06 янв 2014, 21:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составить уравнение линии

Да никак.
При возведении в квадрат модуль исчезает.
Формально модуль действительно сначала нужен.
Но из очевидных соображений сразу ясно, что "Точка F явно должна быть ниже прямой у=8", поэтому модуль можно снять, записав BF=8-y.

Автор:  mad_math [ 06 янв 2014, 21:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составить уравнение линии

MoonGoosT писал(а):
Мне сказали, что y-8 должен быть взят под модуль
Правильно сказали. Так как формула расстояния от точки [math](x_0;y_0)[/math] до прямой [math]Ax+By+C=0[/math] имеет вид [math]d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}[/math]

MoonGoosT писал(а):
А как изменится дальнейшее решение от модуля?
Никак. После возведения обеих частей в квадрат модуль уже перестаёт быть актуальным. А вот для того, чтобы возведение в квадрат было правомочным, модуль как раз не помешает.

Автор:  vvvv [ 07 янв 2014, 01:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Составить уравнение линии

У вас все верно.Решение соответствует условию задачи.
Для любой точки эллипса отношение расстояний равно 1/2.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/