Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача на нахождение точки внутри треугольника
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=28986
Страница 1 из 3

Автор:  conjack [ 14 дек 2013, 01:03 ]
Заголовок сообщения:  Задача на нахождение точки внутри треугольника

Помогите, пожалуйста.
Изображение

Автор:  Avgust [ 14 дек 2013, 04:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

Попытаюсь сформулировать математическую модель задачи. Сначала рисунок:

Изображение

Пусть [math](x_1,y_1)[/math] - координаты точки внутри треугольника. Тогда расстояния от этой точки до сторон треугольника должны подчиняться зависимостям:

[math]\left | \frac{2x_1+y_1-22}{\sqrt{2^2+1^2}}\right |=20\cdot k[/math]

[math]\left | \frac{2x_1-y_1+18}{\sqrt{2^2+1^2}}\right |=12\cdot k[/math]

[math]\left | \frac{x_1-2y_1-6}{\sqrt{1^2+2^2}}\right |=15\cdot k[/math]

при условиях:

[math]-14 \le x_1 \le 10[/math]

[math]y_1\le 22-2x_1[/math]

[math]y_1\le 2x_1+18[/math]

[math]y_1\ge \frac{x_1}{2}-3[/math]

Если я прав, то можно двигаться дальше. Или что-то упустил?

Автор:  conjack [ 14 дек 2013, 06:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

Вроде все так. Сразу скажу ответ из учебника для проверки: [math]\left(-1, 4\right)[/math]

Автор:  Avgust [ 14 дек 2013, 11:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

Да, ответ полностью соответствует формулам. При этом [math]k=\frac{1}{\sqrt{5}}[/math]

Теперь важно понять, как получить эту точку [math](-1, 4)[/math]

Можно просто решить систему трех уравнений с тремя неизвестными (но догадаться верно расставить знаки в первом и третьем уравнениях):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %29%3D15*k

Автор:  vvvv [ 14 дек 2013, 12:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

Между прочим, в задаче не говорится, что k одно и то же для трех чисел :(

Автор:  Avgust [ 14 дек 2013, 17:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

В задаче говорится о пропорциональности. Поэтому я и ввел коэффициент пропорциональности [math]k[/math]. И он должен быть одинаковым. Иначе пропорциональность числам [math]20, 12, 15[/math] нарушится.
Доказательством моей правоты является верный ответ при решении системы трех уравнений.

Автор:  mad_math [ 14 дек 2013, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

Avgust писал(а):
Иначе пропорциональность числам 20, 12, 15 нарушится.
Они могут быть попарно пропорциональны с разными коэффициентами.

Автор:  Avgust [ 14 дек 2013, 17:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

mad_math писал(а):
Avgust писал(а):
Иначе пропорциональность числам 20, 12, 15 нарушится.
Они могут быть попарно пропорциональны с разными коэффициентами.
А вот покажите это на примере.

Автор:  Avgust [ 14 дек 2013, 19:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

Строгое решение задачи такое:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... 5%29%3D15k

Из четырех решений только одно проходит (первое в рамке, так как координата точки расположена внутри треугольника ):

Изображение

Автор:  mad_math [ 14 дек 2013, 20:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на нахождение точки внутри треугольника

Например, так
Изображение
Ответ
Изображение

И только два коэффициента равны между собой.

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/