Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Кривая второго порядка. Две прямые или гипербола
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=28667
Страница 1 из 1

Автор:  RikkiTan1 [ 08 дек 2013, 08:34 ]
Заголовок сообщения:  Кривая второго порядка. Две прямые или гипербола

Доброго времени суток! Есть уравнение кривой второго порядка
[math]x^2-2xy+5x=0[/math]

требуется привести его к каноническому виду.
Построил матрицу А.
[math]\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}[/math]

След этой матрицы [math]I_1=1[/math]
Определитель [math]I_2=-1[/math]

Расширенная матрица A
[math]\begin{pmatrix}1 & -1 & 5|2 \\-1 & 0 & 0 \\5|2 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]



Определитель [math]I_3=-5|2[/math]
Начало новой системы координат (0;5/2).
Далее сделал параллельный перенос системы координат и получил уравнение
[math]x'^2-2x'y'=0[/math]

Делаю поворот системы координат
Нашел [math]\operatorname{tg}{2\alpha=-2}; \sin{\alpha}= \frac{1+\sqrt5}{\sqrt{10+2\sqrt5}}; \cos{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{10+2\sqrt5}}[/math]
Подставил их в формулу для поворота системы коордтнат
[math]x'=\frac{1}{\sqrt{10+2\sqrt5}}(2x''-(1+\sqrt5)y''))[/math]

[math]y'=\frac{1}{\sqrt{10+2\sqrt5}}((1+\sqrt5)x''+2y''))[/math]

Подставил эти значения в [math]x'^2-2x'y'=0[/math]
И получилось
[math]\frac{-4\sqrt5}{10+2\sqrt5}x''^2+\frac{10+6\sqrt5}{10+2\sqrt5}y''^2=0[/math]
- две пересекающиеся прямые
Потом начал приводить исходное уравнение к каноническому виду с помощью инвариантов
[math]\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\-1 & -\lambda \\ \end{pmatrix}=0[/math]

[math]\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}2[/math]

[math]\lambda_2=\frac{1-\sqrt5}2[/math]

Подставил в формулу
[math]\lambda_1x''^2+\lambda_2y''+\frac{I_3}{I_2}=0[/math]

Получилось
[math]\frac{1+\sqrt5}2x''^2+\frac{1-\sqrt5}2y''+5/2=0[/math]
-гипербола
И получилось, что в первом случае моя кривая - это две пересекающиеся прямые, а во втором(с помощью инвариантов) - гипербола. Подскажите, пожалуйста, все-таки, где я ошибаюсь)

Автор:  RikkiTan1 [ 08 дек 2013, 10:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Кривая второго порядка. Две прямые или гипербола

Во, блин, афигеть, ребят, два дня сидел и думал, почему же ответы не сходятся. Прочитал целую кучу литературы, сходил в библиотеку за советскими книжками... Оказывается, [math]I_3=0[/math], а не 5/2. Товарищи, будьте внимательны)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/