| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти геометрическое место точек http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=28484 |
Страница 2 из 2 |
| Автор: | radix [ 05 дек 2013, 01:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти геометрическое место точек |
Думаю, к одному уравнению все равно не получится. Здесь задачу явно надо разбить на части. 1-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат внутри прямоугольника. Кстати, предлагаю разместить прямоугольник так, чтобы начало координат совпало с точкой пересечения диагоналей. Тогда для этого случая: [math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math] и [math]-\frac{ b }{ 2 } \leqslant y \leqslant \frac{ b }{ 2 }[/math] И уравнение тогда примет вид: [math](x-\frac{ a }{ 2 }) (x+\frac{ a }{ 2 })= (y-\frac{ b }{ 2 }) (y+\frac{ b }{ 2 })[/math] или [math]x^{2}-y^{2}=\frac{ a^{2}-b^{2} }{ 4 }[/math] Это гипербола. Кстати, если наш прямоугольник случайно оказался квадратом, то это уравнение прекрасно с этим справляется и задаёт именно диагонали квадрата! Отдельно случай с квадратом рассматривать не нужно.
|
|
| Автор: | radix [ 05 дек 2013, 01:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти геометрическое место точек |
2-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат над или под прямоугольником. То есть точки, для которых [math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math] [math]y > \frac{ b }{ 2 }[/math] или [math]y < -\frac{ b }{ 2 }[/math] Для них уравнение примет вид: |
|
| Автор: | radix [ 05 дек 2013, 01:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти геометрическое место точек |
М-м-м-мда... Простите, но если считать расстоянием до стороны квадрата длину отрезка, соединяющего точку с ближайшем концом стороны (это если опущенный перпендикуляр не попадает на эту сторону), то это жесть какая-то, а не уравнение. Может, всё-таки остановимся на варианте, что нужно искать расстояние до прямых, содержащих стороны прямоугольника? В этом случае приведённое моною ранее уравнение, задающее гиперболу, [math]x^{2}-y^{2}=\frac{ a^{2}-b^{2} }{ 4 }[/math] подходит как для точек, лежащих внутри прямоугольника, так и для точек, лежащих снаружи. В общем, ГМТ будет представлять собой гиперболу, которая в случае с прямоугольником-квадратом вырождается в две пересекающиеся прямые y=x и y=-x. ![]() P.S. Вот и обошлись всего одним уравненьицем...
|
|
| Автор: | radix [ 05 дек 2013, 02:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти геометрическое место точек |
Нет, второе уравнение все-таки нужно! Для точек, лежащих строго над прямоугольником, под прямоугольником, слева и справа от него уравнение будет иметь вид: [math]x^{2}+y^{2}= \frac{ a^{2}+b^{2} }{ 4 }[/math] Это уравнение задает окружность, описанную около прямоугольника. Резюмирую: Искомое ГМТ представляет собой окружность, описанную около прямоугольника и гиперболу, проходящую через вершины прямоугольника. Причем, если [math]a > b[/math], то гипербола будет иметь "левую" и "правую" ветви. А если [math]b > a[/math], то "верхнюю" и "нижнюю". При этом в случае, если прямоугольник - квадрат, гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые [math]y=x[/math] и [math]y=-x[/math]. Ну, теперь, наверное, всё!
|
|
| Автор: | Julie [ 09 дек 2013, 23:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти геометрическое место точек |
radix писал(а): 2-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат над или под прямоугольником. То есть точки, для которых [math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math] [math]y > \frac{ b }{ 2 }[/math] или [math]y < -\frac{ b }{ 2 }[/math] Для них уравнение примет вид: А какое уравнение должно получится здесь? Я пытаюсь, но у меня ничего не получается |
|
| Страница 2 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|