Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти геометрическое место точек
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=28484
Страница 2 из 2

Автор:  radix [ 05 дек 2013, 01:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

Думаю, к одному уравнению все равно не получится.
Здесь задачу явно надо разбить на части.
1-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат внутри прямоугольника. Кстати, предлагаю разместить прямоугольник так, чтобы начало координат совпало с точкой пересечения диагоналей. Тогда для этого случая:
[math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math] и [math]-\frac{ b }{ 2 } \leqslant y \leqslant \frac{ b }{ 2 }[/math]
И уравнение тогда примет вид:
[math](x-\frac{ a }{ 2 }) (x+\frac{ a }{ 2 })= (y-\frac{ b }{ 2 }) (y+\frac{ b }{ 2 })[/math]
или
[math]x^{2}-y^{2}=\frac{ a^{2}-b^{2} }{ 4 }[/math]
Это гипербола. Кстати, если наш прямоугольник случайно оказался квадратом, то это уравнение прекрасно с этим справляется и задаёт именно диагонали квадрата! Отдельно случай с квадратом рассматривать не нужно. :)

Автор:  radix [ 05 дек 2013, 01:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

2-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат над или под прямоугольником. То есть точки, для которых
[math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math]
[math]y > \frac{ b }{ 2 }[/math] или [math]y < -\frac{ b }{ 2 }[/math]
Для них уравнение примет вид:

Автор:  radix [ 05 дек 2013, 01:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

М-м-м-мда... Простите, но если считать расстоянием до стороны квадрата длину отрезка, соединяющего точку с ближайшем концом стороны (это если опущенный перпендикуляр не попадает на эту сторону), то :shock: это жесть какая-то, а не уравнение. :%)
Может, всё-таки остановимся на варианте, что нужно искать расстояние до прямых, содержащих стороны прямоугольника? :D1
В этом случае приведённое моною ранее уравнение, задающее гиперболу,
[math]x^{2}-y^{2}=\frac{ a^{2}-b^{2} }{ 4 }[/math]
подходит как для точек, лежащих внутри прямоугольника, так и для точек, лежащих снаружи.
В общем, ГМТ будет представлять собой гиперболу, которая в случае с прямоугольником-квадратом вырождается в две пересекающиеся прямые y=x и y=-x.
:)
P.S. Вот и обошлись всего одним уравненьицем... :Yahoo!:

Автор:  radix [ 05 дек 2013, 02:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

Нет, второе уравнение все-таки нужно!
Для точек, лежащих строго над прямоугольником, под прямоугольником, слева и справа от него уравнение будет иметь вид:
[math]x^{2}+y^{2}= \frac{ a^{2}+b^{2} }{ 4 }[/math]
Это уравнение задает окружность, описанную около прямоугольника.

Резюмирую: Искомое ГМТ представляет собой окружность, описанную около прямоугольника и гиперболу, проходящую через вершины прямоугольника. Причем, если [math]a > b[/math], то гипербола будет иметь "левую" и "правую" ветви. А если [math]b > a[/math], то "верхнюю" и "нижнюю". При этом в случае, если прямоугольник - квадрат, гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые [math]y=x[/math] и [math]y=-x[/math].
Ну, теперь, наверное, всё! :)

Автор:  Julie [ 09 дек 2013, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

radix писал(а):
2-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат над или под прямоугольником. То есть точки, для которых
[math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math]
[math]y > \frac{ b }{ 2 }[/math] или [math]y < -\frac{ b }{ 2 }[/math]
Для них уравнение примет вид:


А какое уравнение должно получится здесь? Я пытаюсь, но у меня ничего не получается

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/