Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти геометрическое место точек
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=28484
Страница 1 из 2

Автор:  JeSTeR [ 03 дек 2013, 18:28 ]
Заголовок сообщения:  Найти геометрическое место точек

Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых до двух противоположных сторон прямоугольника равно произведению их расстояний до двух других противоположных сторон его.
_______________________________________________________________________________________________________________
Подскажите, как решить это. Не знаю даже с чего начать. Не понимаю как этот прямоугольник должен располагаться от места точек.

Автор:  Uncle Fedor [ 03 дек 2013, 21:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

Для решения задачи можно воспользоваться методом координат.
Пусть [math]M\left( {x,y} \right)[/math] - некоторая точка, принадлежащая искомому ГМТ, тогда по условию задачи имеем соотношение:
[math]\rho \left( {M,AB} \right) \cdot \rho \left( {M,CD} \right) = \rho \left( {M,AD} \right) \cdot \rho \left( {M,BC} \right)[/math].
Далее выразите все расстояния, фигурирующее в этом равенстве через координаты [math]x[/math], [math]y[/math] точки [math]M[/math] и длины сторон данного прямоугольника [math]a[/math] и [math]b[/math].
Учтите, что расстояние между двумя точками координатной оси равно модулю разности координат этих точек.
Вот рисунок к задаче:

Изображение

Автор:  radix [ 03 дек 2013, 22:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

Кстати, если взять в качестве прямоугольника квадрат, то точка пересечения его диагоналей тоже будет принадлежать искомому ГМТ.

Автор:  JeSTeR [ 03 дек 2013, 22:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

Там вроде все точки диагоналей будут принадлежать..но все же нужно взять прямоугольник.

Автор:  JeSTeR [ 03 дек 2013, 23:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

Я получил уравнение [math]{x^2}+{y^2}- by - ax = 0[/math]
Оно находит только точки на эллипсе, описанном вокруг прямоугольника. Как найти еще точки?

Автор:  JeSTeR [ 04 дек 2013, 00:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

[math]{x^2}-{y^2}+ by - ax = 0[/math]
Получил еще такое..
Это видимо из-за модуля так?

Автор:  JeSTeR [ 04 дек 2013, 00:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

Эти два уравнения и будут ГМТ?

Автор:  radix [ 04 дек 2013, 12:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

JeSTeR писал(а):
Там вроде все точки диагоналей будут принадлежать..но все же нужно взять прямоугольник.

Ну конечно же диагонали целиком. Что-то я :oops:
Мое мнение, что если в задании прямым текстом не сказано, что "смежные стороны прямоугольника не равны", то нужно отдельно рассмотреть квадрат, ибо любой квадрат является прямоугольником. То есть в решении рассматриваем два случая: квадрат и не квадрат.
Ещё меня в условии смутил такой момент: сказано "расстояние от точки до стороны", но не сказано "расстояние от точки до стороны или её продолжения". А это, согласитесь, разные вещи. Вот и не понятно, подразумевается ли растояние до подолжения стороны или нет. :unknown:
P.S. Уравнение у меня получилось такое же, как у Вас. Да, там действительно модули должны быть.

Автор:  radix [ 04 дек 2013, 12:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

В курсе геометрии, насколько мне помнится, определения, что есть расстояние от точки до отрезка, не дается.
Думаю, что в данном случае нужно использовать следующее:
Расстоянием от точки до отрезка считаем длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, содержащую этот отрезок, в случае, если основание перпендикуляра принадлежит отрезку. Иначе, расстоянием считаем кратчайшее из расстояний от точки до концов отрезка.
Наверное, так?

Автор:  JeSTeR [ 04 дек 2013, 18:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти геометрическое место точек

radix писал(а):
В курсе геометрии, насколько мне помнится, определения, что есть расстояние от точки до отрезка, не дается.
Думаю, что в данном случае нужно использовать следующее:
Расстоянием от точки до отрезка считаем длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, содержащую этот отрезок, в случае, если основание перпендикуляра принадлежит отрезку. Иначе, расстоянием считаем кратчайшее из расстояний от точки до концов отрезка.
Наверное, так?

В таком случае, уравнение изменит свой вид, так как расстоянием от точки M до отрезков будет длина соответствующих векторов, так?
И еще вопрос: вот у нас получились два уравнения - как их привести к одному, чтобы определить наше ГМТ одним уравнением?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/