Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Найти геометрическое место точек
СообщениеДобавлено: 05 дек 2013, 01:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Думаю, к одному уравнению все равно не получится.
Здесь задачу явно надо разбить на части.
1-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат внутри прямоугольника. Кстати, предлагаю разместить прямоугольник так, чтобы начало координат совпало с точкой пересечения диагоналей. Тогда для этого случая:
[math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math] и [math]-\frac{ b }{ 2 } \leqslant y \leqslant \frac{ b }{ 2 }[/math]
И уравнение тогда примет вид:
[math](x-\frac{ a }{ 2 }) (x+\frac{ a }{ 2 })= (y-\frac{ b }{ 2 }) (y+\frac{ b }{ 2 })[/math]
или
[math]x^{2}-y^{2}=\frac{ a^{2}-b^{2} }{ 4 }[/math]
Это гипербола. Кстати, если наш прямоугольник случайно оказался квадратом, то это уравнение прекрасно с этим справляется и задаёт именно диагонали квадрата! Отдельно случай с квадратом рассматривать не нужно. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти геометрическое место точек
СообщениеДобавлено: 05 дек 2013, 01:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат над или под прямоугольником. То есть точки, для которых
[math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math]
[math]y > \frac{ b }{ 2 }[/math] или [math]y < -\frac{ b }{ 2 }[/math]
Для них уравнение примет вид:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти геометрическое место точек
СообщениеДобавлено: 05 дек 2013, 01:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
М-м-м-мда... Простите, но если считать расстоянием до стороны квадрата длину отрезка, соединяющего точку с ближайшем концом стороны (это если опущенный перпендикуляр не попадает на эту сторону), то :shock: это жесть какая-то, а не уравнение. :%)
Может, всё-таки остановимся на варианте, что нужно искать расстояние до прямых, содержащих стороны прямоугольника? :D1
В этом случае приведённое моною ранее уравнение, задающее гиперболу,
[math]x^{2}-y^{2}=\frac{ a^{2}-b^{2} }{ 4 }[/math]
подходит как для точек, лежащих внутри прямоугольника, так и для точек, лежащих снаружи.
В общем, ГМТ будет представлять собой гиперболу, которая в случае с прямоугольником-квадратом вырождается в две пересекающиеся прямые y=x и y=-x.
:)
P.S. Вот и обошлись всего одним уравненьицем... :Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти геометрическое место точек
СообщениеДобавлено: 05 дек 2013, 02:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, второе уравнение все-таки нужно!
Для точек, лежащих строго над прямоугольником, под прямоугольником, слева и справа от него уравнение будет иметь вид:
[math]x^{2}+y^{2}= \frac{ a^{2}+b^{2} }{ 4 }[/math]
Это уравнение задает окружность, описанную около прямоугольника.

Резюмирую: Искомое ГМТ представляет собой окружность, описанную около прямоугольника и гиперболу, проходящую через вершины прямоугольника. Причем, если [math]a > b[/math], то гипербола будет иметь "левую" и "правую" ветви. А если [math]b > a[/math], то "верхнюю" и "нижнюю". При этом в случае, если прямоугольник - квадрат, гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые [math]y=x[/math] и [math]y=-x[/math].
Ну, теперь, наверное, всё! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти геометрическое место точек
СообщениеДобавлено: 09 дек 2013, 23:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2013, 23:07
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
2-я часть. Рассмотрим точки, которые лежат над или под прямоугольником. То есть точки, для которых
[math]-\frac{ a }{ 2 } \leqslant x \leqslant \frac{ a }{ 2 }[/math]
[math]y > \frac{ b }{ 2 }[/math] или [math]y < -\frac{ b }{ 2 }[/math]
Для них уравнение примет вид:


А какое уравнение должно получится здесь? Я пытаюсь, но у меня ничего не получается

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти геометрическое место точек

в форуме Геометрия

Skvortsov

4

1480

05 июн 2016, 12:23

Найти геометрическое место точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

RaysOfTheSun

2

426

04 апр 2019, 18:15

Найти геометрическое место точек пересечения касательных

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

gaztello

1

301

18 окт 2021, 22:02

Найти геометрическое место точек, удовлетворяющих условию

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Dayl

8

1027

13 янв 2019, 13:26

Найти геометрическое место точек на комплексной области

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

te4

1

207

07 дек 2021, 21:38

Геометрическое место точек

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

oobarbazanoo

2

598

19 фев 2017, 14:45

Геометрическое место точек

в форуме Геометрия

Sts

7

1160

27 янв 2019, 08:57

Геометрическое место точек

в форуме Геометрия

Sts

6

1434

27 сен 2018, 08:26

Геометрическое место точек

в форуме Геометрия

Sts

7

493

29 окт 2018, 07:49

Геометрическое место точек

в форуме Геометрия

Sts

1

358

28 сен 2018, 06:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved