| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти координаты вершины треугольника http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=27668 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Gray [ 09 ноя 2013, 17:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти координаты вершины треугольника |
Условие: Высота, проведённая из вершины A(4, 4) треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке D(1, 1). x + 2y + 1 = 0 — уравнение высоты, опущенной из вершины B. Определить координаты x0, y0 вершины C. Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Найдем уравнение прямой АС Общее уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0 Вектор перпендикулярный прямой, называется вектором нормали. Высота В является перпендикулярной прямой АС Вектор нормали высоты В(1, 2) Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1) Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0 подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС -2*4+4+С=0 С=0-(-8+4)=4 -2x + y + 4 = 0 Обозначим координаты точки С через (х0, у0) Точка С лежит на прямой АС, поэтому -2x0 + y0 + 4 = 0 Координаты точки С можно найти зная уравнения сторон треугольника (прямых) АС и DС (потому как D находится в точке пересечения высоты А на прямой ВС и образует прямоугольный трегуольник ADC) решив систему уравнений. Уравнение прямой АС мы нашли, зная вектор нормали высоты В согласно уравнению в условии задачи. Подскажите пожалуйста, как найти уравнение прямой AD? Или я не в том направлении думаю? |
|
| Автор: | vvvv [ 09 ноя 2013, 18:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Задача поставлена некорректно, в том смысле, что таких треугольников (отвечающим условию задачи) можно построить сколько угодно! |
|
| Автор: | Gray [ 09 ноя 2013, 21:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Но по сути то получается 1 треугольник со сторонами AD, CD, AC должно же быть какое то решение у задачи, условие именно такое какое я и написал
|
|
| Автор: | mad_math [ 09 ноя 2013, 21:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Gray писал(а): Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1) А почему нельзя было использовать каноническое уравнение прямой?
Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0 подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС -2*4+4+С=0 С=0-(-8+4)=4 -2x + y + 4 = 0 |
|
| Автор: | mad_math [ 09 ноя 2013, 21:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Gray писал(а): Подскажите пожалуйста, как найти уравнение прямой AD? Как уравнение прямой, проходящей через 2 точки static.php?p=uravneniya-pryamoi-cherez-dve-tochki
|
|
| Автор: | vvvv [ 09 ноя 2013, 21:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Gray писал(а): Но по сути то получается 1 треугольник со сторонами AD, CD, AC должно же быть какое то решение у задачи, условие именно такое какое я и написалТочку В вы как определили? |
|
| Автор: | Gray [ 10 ноя 2013, 14:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Вот моё решение задачи: 1) Найдем уравнение прямой АС Общее уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0 Вектор перпендикулярный прямой, называется вектором нормали. Высота В является перпендикулярной прямой АС Вектор нормали высоты В(1, 2) Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1) Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0 подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС -2*4+4+С=0 С=0-(-8+4)=4 Уравнение прямой АС: -2x + y + 4 = 0 2) Найдем уравнение прямой AD как уравнение прямой проходящей через 2 точки Координаты точки А(4,4), точки D (1,1) Уравнение прямой проходящей через 2 точки имеет вид Х-Х0/Х1-Х0=У-У0/У1-У0 Х-4/1-4=У-4/1-4 или Х-4/-3=У-4/-3 Преобразуем уравнение к общему виду -3(х-4)=-3(у-4) -3х+12=-3у+12 -3х+12+3у-12=0 Уравнение прямой AD: 3х-3у=0 3) Найдем уравнение прмой DC Вектор нормали DC(3,-3) 3х + (-3у) + С = 0 подставим координаты точки D 3*1 + (-3*1) + С = 0 С = 0 - (3+(-3)) С=0 Уравнение прямой DC: 3х + (-3у) = 0 или -3х + 3у = 0 4) Координаты точки С можно найти зная уравнения сторон треугольника (прямых) АС и DС (потому как D находится в точке пересечения высоты А на прямой ВС и образует прямоугольный трегуольник ADC) решив систему уравнений АС и DC. -2x + y + 4 = 0 -3х + 3у = 0 Решение методом подстановки: у=0-(-2х+4) у=2х-4 -3х+3(2х-4)=0 -3х+6х-12=0 3х-12=0 3х=12 х=4 -2*4+у+4=0 -8+у+4=0 у=0-(-8+4) у=0-(-4) у=4 Координаты точки С(4,4). Но это координаты точки А, не пойму в чем ошибка, или не правильный ход рассуждений для решения задачи? |
|
| Автор: | mad_math [ 10 ноя 2013, 14:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Gray писал(а): Вектор нормали DC(3,-3) Вообще-то, это нормальный вектор для AD и направляющий для DC. Вы не видите что ли, что у вас уравнения AD и DC одинаковыми получились?
|
|
| Автор: | Gray [ 10 ноя 2013, 15:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 Вектор нормали - N(А,В) Направляющий вектор - Р(-В,А) В нашем случае для уравнения прямой AD: 3х-3у=0 вектор нормали (3, -3), направляющий (3, -3), у нас же постоянные А и В одинаковые, а направляющий для AD мы можем принять как вектор нормали для DC, что так же равно (3, -3). В том то и дело что уравнения получились одинаковыми и вот тут не пойму в чем загвоздка. |
|
| Автор: | mad_math [ 10 ноя 2013, 15:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти координаты вершины треугольника |
Gray писал(а): В нашем случае для уравнения прямой AD: 3х-3у=0 вектор нормали (3, -3), направляющий (3, -3) Направляющий для чего? Почему вы берёте координаты направляющего вектора за коэффициенты общего уравнения прямой?Вы вообще, кроме общего, какие-нибудь ещё виды уравнения прямой знаете? Gray писал(а): В том то и дело что уравнения получились одинаковыми и вот тут не пойму в чем загвоздка. В том, что вы не видите разницы между направляющим и нормальным векторами, и их роли в уравнении прямой.
|
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|