Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти координаты вершины треугольника
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=27668
Страница 1 из 2

Автор:  Gray [ 09 ноя 2013, 17:18 ]
Заголовок сообщения:  Найти координаты вершины треугольника

Условие:
Высота, проведённая из вершины A(4, 4) треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке D(1, 1). x + 2y + 1 = 0 — уравнение высоты, опущенной из вершины B. Определить координаты x0, y0 вершины C.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Найдем уравнение прямой АС
Общее уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0
Вектор перпендикулярный прямой, называется вектором нормали.
Высота В является перпендикулярной прямой АС
Вектор нормали высоты В(1, 2)
Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1)
Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0
подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС
-2*4+4+С=0
С=0-(-8+4)=4
-2x + y + 4 = 0

Обозначим координаты точки С через (х0, у0)
Точка С лежит на прямой АС, поэтому -2x0 + y0 + 4 = 0

Координаты точки С можно найти зная уравнения сторон треугольника (прямых) АС и DС (потому как D находится в точке пересечения высоты А на прямой ВС и образует прямоугольный трегуольник ADC) решив систему уравнений.
Уравнение прямой АС мы нашли, зная вектор нормали высоты В согласно уравнению в условии задачи. Подскажите пожалуйста, как найти уравнение прямой AD? Или я не в том направлении думаю?

Автор:  vvvv [ 09 ноя 2013, 18:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Задача поставлена некорректно, в том смысле, что таких треугольников (отвечающим условию задачи) можно построить сколько угодно!

Автор:  Gray [ 09 ноя 2013, 21:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Но по сути то получается 1 треугольник со сторонами AD, CD, AC Изображение должно же быть какое то решение у задачи, условие именно такое какое я и написал

Автор:  mad_math [ 09 ноя 2013, 21:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Gray писал(а):
Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1)
Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0
подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС
-2*4+4+С=0
С=0-(-8+4)=4
-2x + y + 4 = 0
А почему нельзя было использовать каноническое уравнение прямой?

Автор:  mad_math [ 09 ноя 2013, 21:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Gray писал(а):
Подскажите пожалуйста, как найти уравнение прямой AD?
Как уравнение прямой, проходящей через 2 точки static.php?p=uravneniya-pryamoi-cherez-dve-tochki

Автор:  vvvv [ 09 ноя 2013, 21:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Gray писал(а):
Но по сути то получается 1 треугольник со сторонами AD, CD, AC Изображение должно же быть какое то решение у задачи, условие именно такое какое я и написал


Точку В вы как определили?

Автор:  Gray [ 10 ноя 2013, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Вот моё решение задачи:

1) Найдем уравнение прямой АС
Общее уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0
Вектор перпендикулярный прямой, называется вектором нормали.
Высота В является перпендикулярной прямой АС
Вектор нормали высоты В(1, 2)
Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1)
Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0
подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС
-2*4+4+С=0
С=0-(-8+4)=4
Уравнение прямой АС: -2x + y + 4 = 0

2) Найдем уравнение прямой AD как уравнение прямой проходящей через 2 точки
Координаты точки А(4,4), точки D (1,1)
Уравнение прямой проходящей через 2 точки имеет вид Х-Х0/Х1-Х0=У-У0/У1-У0
Х-4/1-4=У-4/1-4 или Х-4/-3=У-4/-3
Преобразуем уравнение к общему виду
-3(х-4)=-3(у-4)
-3х+12=-3у+12
-3х+12+3у-12=0
Уравнение прямой AD: 3х-3у=0

3) Найдем уравнение прмой DC
Вектор нормали DC(3,-3)
3х + (-3у) + С = 0
подставим координаты точки D
3*1 + (-3*1) + С = 0
С = 0 - (3+(-3))
С=0
Уравнение прямой DC: 3х + (-3у) = 0 или -3х + 3у = 0

4) Координаты точки С можно найти зная уравнения сторон треугольника (прямых) АС и DС (потому как D находится в точке пересечения высоты А на прямой ВС и образует прямоугольный трегуольник ADC) решив систему уравнений АС и DC.

-2x + y + 4 = 0
-3х + 3у = 0

Решение методом подстановки:
у=0-(-2х+4)
у=2х-4

-3х+3(2х-4)=0
-3х+6х-12=0
3х-12=0
3х=12
х=4

-2*4+у+4=0
-8+у+4=0
у=0-(-8+4)
у=0-(-4)
у=4

Координаты точки С(4,4). Но это координаты точки А, не пойму в чем ошибка, или не правильный ход рассуждений для решения задачи?

Автор:  mad_math [ 10 ноя 2013, 14:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Gray писал(а):
Вектор нормали DC(3,-3)
Вообще-то, это нормальный вектор для AD и направляющий для DC. Вы не видите что ли, что у вас уравнения AD и DC одинаковыми получились?

Автор:  Gray [ 10 ноя 2013, 15:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0
Вектор нормали - N(А,В)
Направляющий вектор - Р(-В,А)

В нашем случае для уравнения прямой AD: 3х-3у=0 вектор нормали (3, -3), направляющий (3, -3), у нас же постоянные А и В одинаковые, а направляющий для AD мы можем принять как вектор нормали для DC, что так же равно (3, -3). В том то и дело что уравнения получились одинаковыми и вот тут не пойму в чем загвоздка.

Автор:  mad_math [ 10 ноя 2013, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти координаты вершины треугольника

Gray писал(а):
В нашем случае для уравнения прямой AD: 3х-3у=0 вектор нормали (3, -3), направляющий (3, -3)
Направляющий для чего? Почему вы берёте координаты направляющего вектора за коэффициенты общего уравнения прямой?
Вы вообще, кроме общего, какие-нибудь ещё виды уравнения прямой знаете?

Gray писал(а):
В том то и дело что уравнения получились одинаковыми и вот тут не пойму в чем загвоздка.
В том, что вы не видите разницы между направляющим и нормальным векторами, и их роли в уравнении прямой.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/