Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2013, 17:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2013, 18:38
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Условие:
Высота, проведённая из вершины A(4, 4) треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке D(1, 1). x + 2y + 1 = 0 — уравнение высоты, опущенной из вершины B. Определить координаты x0, y0 вершины C.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Найдем уравнение прямой АС
Общее уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0
Вектор перпендикулярный прямой, называется вектором нормали.
Высота В является перпендикулярной прямой АС
Вектор нормали высоты В(1, 2)
Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1)
Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0
подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС
-2*4+4+С=0
С=0-(-8+4)=4
-2x + y + 4 = 0

Обозначим координаты точки С через (х0, у0)
Точка С лежит на прямой АС, поэтому -2x0 + y0 + 4 = 0

Координаты точки С можно найти зная уравнения сторон треугольника (прямых) АС и DС (потому как D находится в точке пересечения высоты А на прямой ВС и образует прямоугольный трегуольник ADC) решив систему уравнений.
Уравнение прямой АС мы нашли, зная вектор нормали высоты В согласно уравнению в условии задачи. Подскажите пожалуйста, как найти уравнение прямой AD? Или я не в том направлении думаю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2013, 18:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача поставлена некорректно, в том смысле, что таких треугольников (отвечающим условию задачи) можно построить сколько угодно!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2013, 21:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2013, 18:38
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Но по сути то получается 1 треугольник со сторонами AD, CD, AC Изображение должно же быть какое то решение у задачи, условие именно такое какое я и написал

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2013, 21:37 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gray писал(а):
Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1)
Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0
подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС
-2*4+4+С=0
С=0-(-8+4)=4
-2x + y + 4 = 0
А почему нельзя было использовать каноническое уравнение прямой?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2013, 21:43 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gray писал(а):
Подскажите пожалуйста, как найти уравнение прямой AD?
Как уравнение прямой, проходящей через 2 точки static.php?p=uravneniya-pryamoi-cherez-dve-tochki

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 09 ноя 2013, 21:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gray писал(а):
Но по сути то получается 1 треугольник со сторонами AD, CD, AC Изображение должно же быть какое то решение у задачи, условие именно такое какое я и написал


Точку В вы как определили?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2013, 14:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2013, 18:38
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот моё решение задачи:

1) Найдем уравнение прямой АС
Общее уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0
Вектор перпендикулярный прямой, называется вектором нормали.
Высота В является перпендикулярной прямой АС
Вектор нормали высоты В(1, 2)
Направляющий вектор высоты В, параллелен высоте В и перпендикулярен прямой АС, соответственно мы можем прнять его в качестве вектора нормали прямой АС(-2, 1)
Уравнение прямой АС = -2x + y + С = 0
подставим координаты точки А и найдем значение С в общем уравнении прямой АС
-2*4+4+С=0
С=0-(-8+4)=4
Уравнение прямой АС: -2x + y + 4 = 0

2) Найдем уравнение прямой AD как уравнение прямой проходящей через 2 точки
Координаты точки А(4,4), точки D (1,1)
Уравнение прямой проходящей через 2 точки имеет вид Х-Х0/Х1-Х0=У-У0/У1-У0
Х-4/1-4=У-4/1-4 или Х-4/-3=У-4/-3
Преобразуем уравнение к общему виду
-3(х-4)=-3(у-4)
-3х+12=-3у+12
-3х+12+3у-12=0
Уравнение прямой AD: 3х-3у=0

3) Найдем уравнение прмой DC
Вектор нормали DC(3,-3)
3х + (-3у) + С = 0
подставим координаты точки D
3*1 + (-3*1) + С = 0
С = 0 - (3+(-3))
С=0
Уравнение прямой DC: 3х + (-3у) = 0 или -3х + 3у = 0

4) Координаты точки С можно найти зная уравнения сторон треугольника (прямых) АС и DС (потому как D находится в точке пересечения высоты А на прямой ВС и образует прямоугольный трегуольник ADC) решив систему уравнений АС и DC.

-2x + y + 4 = 0
-3х + 3у = 0

Решение методом подстановки:
у=0-(-2х+4)
у=2х-4

-3х+3(2х-4)=0
-3х+6х-12=0
3х-12=0
3х=12
х=4

-2*4+у+4=0
-8+у+4=0
у=0-(-8+4)
у=0-(-4)
у=4

Координаты точки С(4,4). Но это координаты точки А, не пойму в чем ошибка, или не правильный ход рассуждений для решения задачи?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2013, 14:40 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gray писал(а):
Вектор нормали DC(3,-3)
Вообще-то, это нормальный вектор для AD и направляющий для DC. Вы не видите что ли, что у вас уравнения AD и DC одинаковыми получились?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2013, 15:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 ноя 2013, 18:38
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0
Вектор нормали - N(А,В)
Направляющий вектор - Р(-В,А)

В нашем случае для уравнения прямой AD: 3х-3у=0 вектор нормали (3, -3), направляющий (3, -3), у нас же постоянные А и В одинаковые, а направляющий для AD мы можем принять как вектор нормали для DC, что так же равно (3, -3). В том то и дело что уравнения получились одинаковыми и вот тут не пойму в чем загвоздка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти координаты вершины треугольника
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2013, 15:42 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gray писал(а):
В нашем случае для уравнения прямой AD: 3х-3у=0 вектор нормали (3, -3), направляющий (3, -3)
Направляющий для чего? Почему вы берёте координаты направляющего вектора за коэффициенты общего уравнения прямой?
Вы вообще, кроме общего, какие-нибудь ещё виды уравнения прямой знаете?

Gray писал(а):
В том то и дело что уравнения получились одинаковыми и вот тут не пойму в чем загвоздка.
В том, что вы не видите разницы между направляющим и нормальным векторами, и их роли в уравнении прямой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти координаты вершины треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Gost24

6

156

07 окт 2024, 22:04

Найти координаты вершины треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Ami00

4

926

04 мар 2016, 12:44

Найти координаты вершины треугольника, по известным сторонам

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Peter2x

11

3962

06 апр 2018, 16:33

Найти координаты вершины

в форуме Геометрия

irina161194

6

1452

10 янв 2015, 08:03

Даны вершины треугольника ABC: А(3;-1) В(11;3) С(-6;-2)Найти

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Krotan

2

1244

30 окт 2019, 22:23

Найти координату вершины треугольника

в форуме Геометрия

Kara4un

2

497

05 апр 2015, 10:50

Даны вершины треугольника a b d, найти bc

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Mivka

2

439

07 янв 2019, 21:47

Даны две вершины треугольника А(-4,1,2) и B(3,5,-16).Найти C

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

CWalker

3

812

29 янв 2018, 10:03

Найти координаты четвертой вершины параллелограмма

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ibelousov

4

1688

28 янв 2015, 13:29

Как найти косинус угла у вершины треугольника С ?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Leonor19

2

474

01 окт 2016, 13:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved