Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=33&t=27256
Страница 1 из 3

Автор:  dannae [ 27 окт 2013, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду, определить параметры кривой и сделать рисунок:
а) с помощью преобразования координат;
б) с помощью теории квадратичных форм.

[math]4x^2-12xy+9y^2-20x+30y+16=0[/math]

Объясните, пожалуйста, как это делается :(
я совсем не понимаю, а в универе мы это не проходили еще

Автор:  Human [ 27 окт 2013, 18:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

Почитайте здесь:

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-uravneniya-linii-k-kanonicheskomu-vidu
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=privedenie-uravneniya-linii-vtorogo-poryadka-k-kanonicheskomu-vidu

Автор:  mad_math [ 27 окт 2013, 18:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

И здесь static.php?p=privedenie-kvadratichnoi-formy-k-kanonicheskomu-vidu

Автор:  dannae [ 27 окт 2013, 22:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

Да вся проблема в том, что я прочитала все, но решить то у меня не получается
у меня получилось, что cos=3/scrt(13), a sin = 2/scrt(13)
а когда привожу подобные, там получается какая-то ерунда(

Автор:  mad_math [ 27 окт 2013, 22:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

У меня получилось [math]\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{10}}{5},\,\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{15}}{5}[/math]

Автор:  dannae [ 28 окт 2013, 07:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

mad_math писал(а):
У меня получилось [math]\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{10}}{5},\,\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{15}}{5}[/math]

как у Вас так получилось?

Автор:  mad_math [ 28 окт 2013, 12:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

Подставила в уравнение кривой уравнения поворота системы координат:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& x=x'\cos{\varphi}-y'\sin{\varphi}\\ & y=x'\sin{\varphi}+y'\cos{\varphi}\end{aligned}\right.[/math]

Раскрыла скобки, привела подобные по переменным [math]x',\,y'[/math] и приравняла к 0 выражение с синусами и косинусами, которое относилось к произведению [math]x'\cdot y'[/math].
В результате получила два решения уравнения: [math]\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{3}{2},\,\operatorname{tg}\alpha_2=-\frac{2}{3}[/math]. Взяла положительный корень (поворот на острый угол) [math]\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{3}{2}[/math] и по формулам [math]\cos{\alpha}=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}},\,\sin{\alpha}=\pm\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}[/math] нашла синус и косинус (опять же взяла положительные значения).

Автор:  mad_math [ 28 окт 2013, 12:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

А если взять [math]\operatorname{tg}\alpha=-\frac{2}{3}[/math], то получатся Ваши значения синуса и косинуса, но они должны иметь разные знаки, так как в данном случае [math]\alpha[/math] будет принадлежать II или IV, четверти.

Автор:  dannae [ 28 окт 2013, 16:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

mad_math писал(а):
Подставила в уравнение кривой уравнения поворота системы координат:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& x=x'\cos{\varphi}-y'\sin{\varphi}\\ & y=x'\sin{\varphi}+y'\cos{\varphi}\end{aligned}\right.[/math]

Раскрыла скобки, привела подобные по переменным [math]x',\,y'[/math] и приравняла к 0 выражение с синусами и косинусами, которое относилось к произведению [math]x'\cdot y'[/math].
В результате получила два решения уравнения: [math]\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{3}{2},\,\operatorname{tg}\alpha_2=-\frac{2}{3}[/math]. Взяла положительный корень (поворот на острый угол) [math]\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{3}{2}[/math] и по формулам [math]\cos{\alpha}=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}},\,\sin{\alpha}=\pm\sqrt{1-\cos^2{\alpha}}[/math] нашла синус и косинус (опять же взяла положительные значения).

делала все то же самое, но почему-то sin и cos другие :((

Автор:  dannae [ 01 ноя 2013, 20:26 ]
Заголовок сообщения:  Приведение ур-я кривой второго порядка к каноническому виду

Дана прямая: [math]4x^2 - 12xy + 9y^2 - 20x + 30y + 16 = 0[/math]

Я получила [math]\cos\alpha= \frac{3}{\sqrt{13}},~\sin\alpha= \frac{2}{\sqrt{13}}[/math]

Раскрыла скобки, привела подобные, получила: [math]13y^{2}+\frac{130}{\sqrt{13}}y+16=0[/math]
Я так понимаю, что это уравнение параболы. Подскажите, что делать дальше? Нужно привести ее к каноническому виду

Я вообще не уверена, возможно ли в данном случае получение уравнения параболы?

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/