Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Линейная зависимость и Ранг
СообщениеДобавлено: 17 авг 2022, 17:28 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 авг 2022, 17:15
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите, пожалуйста, решить. Краткие ответы есть, хотелось бы понять как до этого дойти
1) Наборы векторов { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math]; a[math]_{4}[/math] } и { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math]; b[math]_{3}[/math] } линейно выражаются друг
через друга.
а) Верно ли, что если набор { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math]; a[math]_{4}[/math] } ЛЗ, то набор { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math]; b[math]_{3}[/math] }
тоже ЛЗ?
б) Верно ли, что если набор { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math]; b[math]_{3}[/math] } ЛНЗ, то набор { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math]; a[math]_{4}[/math] }
тоже ЛНЗ?
ОТВЕТ: неверно, неверно
2) Наборы векторов { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math] } и { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math]; b[math]_{3}[/math] } линейно выражаются друг
через друга, набор { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math]; a[math]_{1}[/math] } независим. Чему может быть
равен ранг набора { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math]}?
ОТВЕТ: 3
3) Набор векторов { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math] } линейно независим и линейно выражается
через набор { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math] } , а набор { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math] } не выражается линейно
через набор { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math] }. Чему может быть равен ранг набора { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math] }?
ОТВЕТ: 3

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейная зависимость и Ранг
СообщениеДобавлено: 18 авг 2022, 09:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jake105 писал(а):
Помогите, пожалуйста, решить. Краткие ответы есть, хотелось бы понять как до этого дойти


Вам может помочь следующая теорема.

Пусть в линейном пространстве задана система векторов [math]f_1,...,f_k[/math] . Пусть, далее, каждый из векторов [math]g_1,...,g_l[/math] есть линейная комбинация векторов [math]f_i[/math] . Тогда, если вектора [math]g_i[/math] линейно независимы, то [math]l \leqslant k[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Jake105
 Заголовок сообщения: Re: Линейная зависимость и Ранг
СообщениеДобавлено: 18 авг 2022, 10:38 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 авг 2022, 17:15
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое за теорему!
Получается, согласно ей такие рассуждения будут, верно?
1)
а)Так как векторов b[math]_{i}[/math] меньше чем a[math]_{j}[/math], то они ЛНЗ автоматически, поэтому ответ: неверно
б)Так векторов a[math]_{j}[/math] больше значит они ЛЗ, то есть ответ: неверно
2) Поскольку количество векторов одинаково, то a[math]_{j}[/math] ЛНЗ и b[math]_{j}[/math] ЛНЗ. То есть уже без условия задачи про ЛНЗ { b[math]_{1}[/math];b[math]_{2}[/math];a[math]_{1}[/math]} можно сказать, что ранг {a[math]_{1}[/math];a[math]_{2}[/math];a[math]_{3}[/math]} равен 3
3) Здесь у меня вопрос
Что дает условие, что набор a[math]_{j}[/math] не выражается через набор b[math]_{i}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейная зависимость и Ранг
СообщениеДобавлено: 18 авг 2022, 12:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jake105 писал(а):
1)
а)Так как векторов b[math]_{i}[/math] меньше чем a[math]_{j}[/math], то они ЛНЗ автоматически, поэтому ответ: неверно

1.a) вообще простой случай и для него не нужно никакой теоремы. Достаточно построить контрпример, в котором [math]a_i=b_i[/math] , [math]i=1,2,3[/math] - линейно независимы. А [math]a_4[/math] линейно выражается через остальные [math]a_i[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Jake105
 Заголовок сообщения: Re: Линейная зависимость и Ранг
СообщениеДобавлено: 18 авг 2022, 14:44 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
17 авг 2022, 17:15
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И в правду, интересно!
А не подскажите, все-таки, 3 номер? Что дает условие:
набор { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math] } не выражается линейно
через набор { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math] }
Нигде не видел свойств связанных с тем, что вектора не выражаются друг через друга

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Линейная зависимость и Ранг
СообщениеДобавлено: 19 авг 2022, 12:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jake105 писал(а):
Что дает условие:
набор { a[math]_{1}[/math]; a[math]_{2}[/math]; a[math]_{3}[/math] } не выражается линейно
через набор { b[math]_{1}[/math]; b[math]_{2}[/math] }
Нигде не видел свойств связанных с тем, что вектора не выражаются друг через друга

Мне кажется, что это условие, взятое само по себе, не даёт ничего.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Jake105
 Заголовок сообщения: Re: Линейная зависимость и Ранг
СообщениеДобавлено: 19 авг 2022, 12:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Jake105 писал(а):
А не подскажите, все-таки, 3 номер?

Мне кажется, что 3-й номер тут можно решить от противного. Т.е. доказать для начала, что ранг с-мы [math]a_i[/math] не может быть ни 1, ни 2. Либо привлечь теоремы о ранге матрицы. В подробности не вдавался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Jake105
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Линейная зависимость

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

JustForStudy

1

561

11 окт 2015, 12:49

Линейная зависимость

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

maksim-maksim

29

1048

05 окт 2017, 15:10

Линейная зависимость векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

quant

1

340

24 окт 2015, 17:09

Линейная зависимость векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Sviatoslav

5

494

15 фев 2015, 15:16

Линейная зависимость векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Bunny987

3

369

12 ноя 2015, 17:32

Линейная зависимость векторов; задача

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Rofuera

5

234

12 янв 2020, 14:34

Линейная зависимость/независимость векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

S_Viktor

2

209

24 май 2019, 00:39

Линейная зависимость или независимость системы

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

StahisT

1

351

08 май 2014, 18:34

Ранг матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

TeorVer

2

296

17 мар 2017, 16:52

Ранг матрицы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

pinkpony

1

299

27 сен 2017, 01:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved