Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 18:33 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 сен 2021, 21:04
Сообщений: 97
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите, что если у многочлена с целыми коэффициентами при [math]\mathsf{x}[/math] = 1, [math]\mathsf{f}[/math] ( [math]\mathsf{1}[/math] ) =
[math]\mathsf{p}[/math] , то при [math]\mathsf{x}[/math] = 5, [math]\mathsf{f}[/math] (5) [math]\ne[/math] [math]\mathsf{p}[/math] +1
Можете подсказать, какая здесь идея доказательства. Я пытался доказать от противного, что [math]\mathsf{f}[/math](5)- [math]\mathsf{f}[/math](1) = 1 но у меня не особо что-то выходит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 18:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
R136a1 писал(а):
Можете подсказать, какая здесь идея доказательства.

Попробуйте рассмотреть, на что должно делиться [math]f(y)-f(x)[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
venjar
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 19:23 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
R136a1 писал(а):
Докажите, что если у многочлена


Не уверен, что на 100% получится, но попробуйте доказательство по индукции.
При [math]n=1[/math], если [math]f(5)=p+1[/math], то [math]a= \frac 1 4[/math], что противоречит условию [math]a[/math] -целое.
Далее рассматриваете [math]n+1[/math], считая верным случай [math]n[/math]. Только для [math]n[/math] возьмите [math]p_n[/math], а для [math]n+1[/math] - [math]p_{n+1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю StepUp "Спасибо" сказали:
R136a1
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 22:05 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
есть вариант доказательства от противного. Пусть на самом деле эти соотношения верны.
Тогда для любого многочлена с целыми коэфф. будет верно, что
[math]f_n(1)=p_n[/math] и [math]f_n(5)=p_n+1[/math]
Тогда для этого же многочлена , но без старшего коэффициента должно быть верным равенство
[math]f_{n-1}(1)=p_{n-1}[/math] и [math]f_{n-1}(5)=p_{n-1}+1[/math]

подставляем значения [math]f_{n-1}[/math] в основные соотношения и получаем систему
[math]f_n(1)=a_n+p_{n-1}=p_n[/math]
[math]f_n(5)=a_n \cdot 5^n+p_{n-1}+1=p_n+1[/math]
Из первого определяем [math]p_{n-1}[/math] и подставляем во второе уравнение. Получится, что [math]a_n=0[/math], т.е условие действительно не выполнимо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю StepUp "Спасибо" сказали:
R136a1
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 23:09 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 сен 2021, 21:04
Сообщений: 97
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Ну мы получим новый многочлен и он будет делится на (x - a), где а - один из его корней. Вы это имели ввиду?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 23:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 сен 2021, 21:04
Сообщений: 97
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
StepUp
А Вы уверены, что если мы уберем старший коэффициент, то многочлены так же будут различаться на единицу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 23:24 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
29 сен 2021, 21:04
Сообщений: 97
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[quote="R136a1"]StepUp
А Вы уверены, что если мы уберем старший коэффициент, то многочлены так же будут различаться на единицу?
Upd. Извините ,вроде, это очевидно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 23:25 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
R136a1 писал(а):
А Вы уверены, что если мы уберем старший коэффициент, то многочлены так же будут различаться на единицу?


Это соответствует указанному правилу, которое мы опровергаем. Берем любой многочлен с целыми коэфф. и убираем старший член. Что у нас получилось? Многочлен с целыми коэффициентами, но степени [math]n-1[/math]. Поэтому константа [math]p_{n-1}[/math] у него будет другая, но если правило мы считаем выполнимым, то и этот многочлен под это правило подходит.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 23:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
R136a1 писал(а):
Ну мы получим новый многочлен и он будет делится на (x - a), где а - один из его корней. Вы это имели ввиду?
Думаю, нет. Любой многочлен делится на (x - a), где a — один из его корней. Здесь нет никакого продвижения. Уважаемый searcher предлагает рассмотреть многочлен [math]f(x)-f(y)[/math] для некоторый чисел [math]x[/math] и [math]y[/math] и учесть, что [math]x^k-y^k[/math] делится на [math]x-y[/math] для любого натурального [math]k[/math]. Можно ли утверждать, что [math]f(x)-f(y)[/math] делится на [math]x-y[/math]?

StepUp, в задаче требуется доказать, что [math]f(5)-f(1)\ne1[/math] для любого многочлена [math]f[/math] с целыми коэффициентами. Отрицанием этого будет то, что [math]f(5)-f(1)=1[/math] для некоторого [math]f[/math], а не для всех [math]f[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на доказательство
СообщениеДобавлено: 05 дек 2021, 23:37 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
[math]f(5)−f(1)≠1[/math] для любого многочлена [math]f[/math] с целыми коэффициентами.


Тогда объясните, что неправильного я написал в предыдущем посту http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=432170#p432170

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 25 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

6

256

15 май 2022, 16:25

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

Maliep

4

759

28 янв 2018, 07:15

Задача на доказательство

в форуме Геометрия

Ilitan

5

485

14 дек 2015, 15:18

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

420

1

323

17 июн 2015, 15:35

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

6

304

30 ноя 2021, 02:44

Задача на доказательство

в форуме Дифференциальное исчисление

R136a1

0

178

29 апр 2022, 21:46

Задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

R136a1

9

350

24 дек 2021, 02:17

Задача на доказательство

в форуме Теория вероятностей

ks17exs

15

651

30 мар 2023, 11:45

Задача на доказательство

в форуме Алгебра

glassen

4

432

28 сен 2017, 19:15

(матрицы) задача на доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

[Alexa]

8

231

24 дек 2021, 21:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved