Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 09:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 сен 2021, 08:29
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Помогите разобраться с задачей

Условие:
Порядок элемента - минимальная степень (a, a+a, a+a+a...), в которую нужно возвести элемент группы для получения нейтрального элемента.
Рассмотрим группу, образованную числами от 0 до N-1 с бинарной операцией f(a,b) = a+b mod N (вычеты по модулю N).
Вычислите порядок каждого элемента в таких группах для всех N от 2 до 20. Сделайте выводы.

Как проходило решение:
Нейтральный элемент - это 1.
0 в любой степени не станет нейтральным элементам. Какой у него будет порядок?
Для удобства предположим что b=0.
Получила вот такие значения для N от 2 до 4:
Изображение
Использовалась формула =mod(элемент^степень;N)
Где зеленым отмечены элементы групп, голубым степень, а бежевым нейтральный элемент.
Для элементов, степень которых кратна N, всегда будет 0.

Так какой порядок у них будет? Если суть задачи в том, что не во всех группах и не у всех элементов может быть порядок, то как можно это доказать не используя конкретные цифры?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 10:12 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LeF писал(а):
Нейтральный элемент - это 1.


Начните с определения нейтрального элемента. Если обозначить групповую операцию, как [math]\bullet[/math], то [math]x \bullet e = x[/math].
Вы уверены, что 2 + 1 = 2 ? Может для операции сложения подойдет другой элемент в качестве нейтрального?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю StepUp "Спасибо" сказали:
LeF
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 12:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 сен 2021, 08:29
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда получается для группы по сложению нейтральный элемент это - 0, а если бы была группа по умножению, то 1.
Но все равно не понятно как найти порядок элемента группы, который был бы равен нейтральному, к примеру, у элементов 1 и 3 в группе {0;1;2;3}. Они всегда будут отличны от нуля

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 12:13 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LeF писал(а):
Они всегда будут отличны от нуля


Давайте последовательно. Какой порядок у нейтрального элемента. Допустим у нас [math]Z_4[/math]. Сколько нулей нужно сложить, чтобы получить опять ноль? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю StepUp "Спасибо" сказали:
LeF
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 12:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 сен 2021, 08:29
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Одного хватит
У нуля получается первая степень?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 12:33 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LeF писал(а):
У нуля получается первая степень?


Да.

Пойдем дальше. Что такое группа [math]Z4[/math] -это группа вычетов по модулю 4. Она состоит из четырех классов вычетов:
[math]\overline{0} - 0;4;8;12...[/math]
[math]\overline{1} - 1;5;9;13;...[/math]
[math]\overline{2} - 2;6;10;14;...[/math]
[math]\overline{3} - 3;7;11;15[/math]

Теперь мы должны суммируя числа из классов [math]\neq \overline{0}[/math] получить число из класса вычетов [math]\overline{0}[/math].
Сколько единиц надо сложить, чтобы получить 4?
Сколько двоек надо сложить, чтобы получить 4?
Сколько троек надо сложить, чтобы получить 12?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю StepUp "Спасибо" сказали:
LeF
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 13:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 сен 2021, 08:29
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сколько единиц надо сложить, чтобы получить 4? - 4
Сколько двоек надо сложить, чтобы получить 4? - 2
Сколько троек надо сложить, чтобы получить 12? - 4

А в группе [math]Z_{11}[/math] у всех элементов будет 11 порядок, кроме нуля?

А в [math]Z_{20}[/math] порядки такие:
Элемент -> порядок
0 -> 1
1 -> 20
2 -> 10
3 -> 20
4 -> 5
5 -> 4
6 -> 10
7 -> 20
8 -> 5
9 -> 20
10 -> 2
11 -> 20
12 -> 5
13 -> 20
14 -> 10
15 -> 4
16 -> 5
17 -> 20
18 -> 10
19 -> 20

Вывод:
В группах, у которых N - это простое число, порядок всегда будет равен N, за исключением нуля. Это такие группы: 3,5,7,11,19.
В остальных группах, порядок будет равен делителям N. К примеру в группе [math]Z_{6}[/math] порядок будут 6,3,2;
Z6
0 -> 0
1 -> 6
2 -> 3
3 -> 2
4 -> 3
5 -> 6

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 13:50 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LeF писал(а):
Вывод:
В группах, у которых N - это простое число, порядок всегда будет равен N, за исключением нуля. Это такие группы: 3,5,7,11,19.
В остальных группах, порядок будет равен делителям N. К примеру в группе Z6 порядок будут 6,3,2;


Каждую строчку не проверял. Но вывод и действия абсолютно правильные. Заодно посмотрите об этом в учебнике. Такое утверждение присутствует во всех учебниках по теории групп для порядка элемента циклической группы. Поздравляю вас, что вы смогли его вывести.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю StepUp "Спасибо" сказали:
LeF
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 15:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
эй дурачок, может хватит уже самому писать и самому отвечать, вторая тема уже пошла)))
наполовину списано наполовину чушь!
Как психическая болезнь такая называется?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Порядок элемента в группе
СообщениеДобавлено: 26 сен 2021, 17:25 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 11:35
Сообщений: 764
Откуда: c Литейной
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
241 раз в 230 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
эй дурачок, может хватит уже самому писать и самому отвечать, вторая тема уже пошла)))
наполовину списано наполовину чушь!
Как психическая болезнь такая называется?


Если тебе хочется быть хамом, то продолжай быть им!!!
Насчет того, что к тебе на ты обращаются, тоже не психуй понапрасну. Когда будет за что уважать, тогда и на вы можно будет обратиться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача на порядок каждого элемента в группе

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Nice_KF

1

238

27 мар 2019, 17:50

Порядок элемента группы

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

crazymadman18

4

427

22 окт 2017, 21:13

Порядок элемента группы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Smilelan

2

423

19 янв 2018, 12:31

Доказать порядок элемента группы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Franky163

1

310

09 июн 2016, 16:25

В группе 16 студентов

в форуме Теория вероятностей

IVAN BATOV

3

173

15 дек 2021, 14:47

Уравнение в группе диэдра D_4

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Torus

0

206

24 авг 2022, 05:58

Сколько студентов в группе?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

photographer

3

463

29 июл 2015, 14:55

Нахождение в группе циклической подгруппы, но по + или *

в форуме Интегральное исчисление

DonKatine

4

830

02 апр 2016, 00:15

В симметрической группе S5 найти все подстановки

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

dmitrw

3

319

21 дек 2020, 01:11

Вычислить количество студентов в группе

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

karastia_13

1

375

19 сен 2018, 11:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved