Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как доказать равенство произведений по двум индексам?
СообщениеДобавлено: 21 июл 2021, 10:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июл 2021, 20:01
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Прошу, пожалуйста, дать подсказку:
Доказать, что в абелевой группе:
[math]\prod\limits_{ \nu =1}^{ \mathsf{n} }[/math][math]\prod\limits_{ \mu=1 }^{ \mathsf{m} }[/math] [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu \nu }[/math] = [math]\prod\limits_{ \mu =1}^{ \mathsf{m} }[/math][math]\prod\limits_{ \nu =1}^{ \mathsf{n} }[/math] [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu \nu }[/math]Изображение
Изображение
На всякий случай, чтобы было понятно, что индексы не имеют отношения к строкам и столбцам.

Я вообще правильно понимаю, что первый индекс это место расположения элемента в строго упорядоченной последовательности (простите, если неточно сформулировал), а второй индекс -- перестановка элемента на соответственное место? Т.е., скажем, [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mathsf{i} \mathsf{k} }[/math], где [math]\mathsf{k}[/math] = [math]\phi[/math][math]\left( \mathsf{i} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство произведений по двум индексам?
СообщениеДобавлено: 21 июл 2021, 11:14 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 03:04
Сообщений: 274
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
59 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Viktors писал(а):
Я вообще правильно понимаю, что первый индекс это место расположения элемента в строго упорядоченной последовательности (простите, если неточно сформулировал), а второй индекс -- перестановка элемента на соответственное место? Т.е., скажем, a
a
ik
ik
, где k
k
= ϕ
ϕ
(i)

Нет, неправильно. Это независимая нумерация.
Скажем, [math]\mathbb Z[/math] - абелева по сложению (коммутативная). И стало быть, там будет верно то же. Можно написать знак суммы вместо произведения, но это неважно. Потому что это не сумма и не произведение в общем случае, а просто групповая операция.
Тогда нужное равенство будет выглядеть
[math]\sum_{\nu=1}^n\sum_{\mu=1}^{m}a_{\mu\nu}=\sum_{\mu=1}^{m}\sum_{\nu=1}^na_{\mu\nu}[/math]

Чтобы было понятно, о чем речь, возьмите [math]a_{\mu\nu}=\mu - \nu, n=3, m=2[/math].
Посчитайте аккуратно, что будет слева, и что справа, чтобы увидеть разницу, и на частном примере, может быть, понять, что именно и как нужно доказывать.

А если вы не будете формулы писать, как положено, ваши цитаты и впредь постигнет та же участь. :unknown:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mysz "Спасибо" сказали:
Viktors
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство произведений по двум индексам?
СообщениеДобавлено: 22 июл 2021, 09:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июл 2021, 20:01
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mysz
Прошу прощения, что затянул с ответом.
Т.е. получатся просто разности конкретных чисел при конкретных [math]\mathsf{n}[/math] и [math]\mathsf{m}[/math] . То есть само [math]\mathfrak{a}[/math] как символ используется для компактности записи, так?
У меня странная проблема с нумерацией; если взять ту сумму, которую Вы привели в пример, то мне непонятно: оба символа суммы задаются от 1 до 3 и от 1 до 2, т.е. оба начинаются с единицы. Конечно, в самой задаче не оговорено, что, например, [math]\nu[/math] [math]< \mu[/math], но
[math]\sum\limits_{ \nu =1}^{3}[/math][math]\sum\limits_{ \mu =1}^{2}[/math] [math]\boldsymbol{a}[/math] [math]_{ \mu \nu }[/math]=(1-1)+(2-2)+(0-3)? По-моему я написал жуткую глупость... если пары индексов упорядочены между собой по величине, то получится вовсе отрицательное число.
Пожалуйста, распишите, как в данном случае это должно выглядеть. Теперь мне ещё менее понятно, как это следует из теории самого параграфа книги.
И в случае произведения совсем неясно, как подобным же образом можно задать элементы, ведь они там произвольны. В случае [math]\mathbb{Z}[/math] понятно, ведь это просто числа, но ведь элементами могут быть вовсе не числа.
Прошу, объясните тормозу, очень хочется понять) Вроде простое выражение, но, к своему удивлению, пока не понял его. Привык пользоваться двойным индексом в линейной алгебре, отсюда проблемы с пониманием того, как это может выглядеть в случае не матриц.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство произведений по двум индексам?
СообщениеДобавлено: 23 июл 2021, 07:19 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 03:04
Сообщений: 274
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
59 раз в 53 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Viktors
Должно получиться 6 слагаемых.
Viktors писал(а):
то получится вовсе отрицательное число.

Ничего, с целыми числами это случается.
Viktors писал(а):
Привык пользоваться двойным индексом в линейной алгебре, отсюда проблемы с пониманием того, как это может выглядеть в случае не матриц.

Ну если бы в матрице такое было написано, вы бы смогли написать, правда? Вот и пишите.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mysz "Спасибо" сказали:
Viktors
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство произведений по двум индексам?
СообщениеДобавлено: 11 сен 2021, 23:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июл 2021, 20:01
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mysz
Добрый вечер. Дико прошу прощения, не было интернета, ответить не мог. Огромное спасибо за помощь; задача крайне лёгкая, но отчего-то стормозил и не сразу понял) Вот только приступил к следующей и, не поверите, не выходит ничего)
Сперва я взял за основу Ваше правило, по которому и попытался разобраться в задаче. Так вроде понятно, но если смотреть на эти суммы в общем виде, без задания конкретного правила, то уже не особенно ясно, что делать дальше. Вот то, что сделал я:
[math]\sum\limits_{ \nu = 1}^{5}[/math][math]\sum\limits_{ \mu = 1}^{3}[/math] [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu \nu }[/math]=[math]\sum\limits_{ \mu =1}^{5}[/math][math]\sum\limits_{ 3= \mu }^{5}[/math] [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu \nu }[/math].
[math]\sum\limits_{ \nu =1}^{5}[/math][math]\sum\limits_{ \mu =1}^{3}[/math] [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu \nu }[/math]= ([math]\mathsf{a}[/math] [math]_{11}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{21}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{31}[/math])+ ([math]\mathsf{a}[/math] [math]_{12}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{22}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{32}[/math])+ ([math]\mathsf{a}[/math] [math]_{13}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{23}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{33}[/math])+( [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{14}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{24}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{34}[/math])+( [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{15}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{25}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{35}[/math])=[math]\sum\limits_{ \mu =1}^{3}[/math]( [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu 3}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu 4}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu 5}[/math])+([math]\mathsf{a}[/math] [math]_{11}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{21}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{31}[/math])+ ([math]\mathsf{a}[/math] [math]_{12}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{22}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{32}[/math])=[math]\sum\limits_{ \mu =1}^{3}[/math][math]\sum\limits_{3= \mu }^{5}[/math] [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{ \mu \nu }[/math]+([math]\mathsf{a}[/math] [math]_{11}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{21}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{31}[/math])+ ([math]\mathsf{a}[/math] [math]_{12}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{22}[/math]+ [math]\mathsf{a}[/math] [math]_{32}[/math]).
Я вообще правильно понял обозначение [math]\nu[/math] = [math]\mu[/math] ?
И как привести оставшуюся (не свёрнутую) сумму к нужному виду, я пока не понимаю. Прошу дать подсказку, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как доказать равенство произведений по двум индексам?
СообщениеДобавлено: 24 сен 2021, 22:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 июл 2021, 20:01
Сообщений: 44
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может кто-нибудь ещё подскажет?)
Буду очень благодарен)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равенство произведений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Viktors

9

156

29 сен 2021, 15:40

Равенство треугольников по двум углам и стороне

в форуме Геометрия

Steys

7

248

19 ноя 2020, 12:36

Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SergeyYsm

1

557

22 сен 2015, 14:35

Доказать, что большее основание трапеции равно двум меньшим

в форуме Геометрия

sfanter

1

342

23 июл 2014, 11:03

Доказать равенство

в форуме Ряды

carti539

4

150

22 май 2023, 19:23

Доказать равенство

в форуме Алгебра

megoncharov

2

519

11 сен 2015, 20:47

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Zed

2

327

23 июн 2015, 18:26

Доказать равенство

в форуме Ряды

Dirolina

8

739

17 июн 2015, 00:18

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

BezdnaIrina

4

509

16 апр 2014, 04:11

Доказать равенство

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

rafic0808

1

617

24 май 2015, 20:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved