Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти базис линейной оболочки, и базис пространства решений
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 19:58 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
21 апр 2020, 14:59
Сообщений: 209
Cпасибо сказано: 125
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, такое задание:

Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix} 8 & 4 & -2 & -8 & 0 \\ -2 & -1 & 1 & -4 & -4 \\ 9 & 8 & -2 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & -1 & -2 & 1 \\ -3 & -2 & 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}[/math]

а) Найти базис линейной оболочки строк матрицы [math]A[/math]
б) Найти базис пространства решений системы [math]Ax=0[/math]

С теорией по теме вроде разобрался, но как на практике с ней работать, вообще не понимаю. Вроде в задании все понятно, а с другой стороны, вообще не понятно...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти базис линейной оболочки, и базис пространства решений
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 20:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
uiiiiiii писал(а):
С теорией по теме вроде разобрался, но как на практике с ней работать, вообще не понимаю

Да тут традиционные трудности даже у хороших студентов.
а) Надо транспонировать матрицу и методом Гаусса привести к треугольному (ну или что там получится) виду.
б) Это фундаментальная система решений. Ее нахождение хорошо расписано почти во всех пособиях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти базис линейной оболочки, и базис пространства решений
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 20:18 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не надо транспонировать. Приведите эту матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Это не меняет линейную оболочку строк. В ступенчатой матрице базис линейной оболочки состоит из всех ненулевых строк. Базис же пространства решений системы [math]Ax=0[/math] есть фундаментальная система решений (ФСР). Нужно определить свободные и зависимые переменные. Зависимые — это те, которые в ступенчатой матрице соответствуют столбцам с первым ненулевым значением в какой-то строке; остальные свободные. Присваиваете одной свободной переменной 1, остальным 0, и находите значения зависимых переменных. Так повторяете для каждой свободной переменной. Получившийся набор решений и есть ФСР.


Последний раз редактировалось 3D Homer 24 фев 2021, 20:20, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти базис линейной оболочки, и базис пространства решений
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 20:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
del

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти базис линейной оболочки, и базис пространства решений
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 21:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Приведите эту матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Это не меняет линейную оболочку строк. В ступенчатой матрице базис линейной оболочки состоит из всех ненулевых строк.

Так не интересно.
Прикольнее отобрать базис из исходного множества строк.
А если сразу (не транспонируя) приводить к ступенчатому виду, то порядок может поменяться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти базис линейной оболочки, и базис пространства решений
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 22:21 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
21 апр 2020, 14:59
Сообщений: 209
Cпасибо сказано: 125
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, вообщем я попробовал:

а)
У меня получилось вот такая ступенчатая матрица (для транспонированной изначальной матрицы):

[math]\begin{pmatrix} 4 & -1 & \frac{ 9 }{ 2 } & \frac{ 5 }{ 2 } & \frac{ 3 }{ 2 } \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 15 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]


И такая для нетранспонированной:

[math]\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & -4 & 0 \\ 0 & 14 & 1 & 36 & 16 \\ 0 & 0 & 1 & -12 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

(Просто я пока так и не понял, через какую делать правильно)

И вот дальше я не совсем понимаю, как найти базис линейной оболочки строк отсюда...

б)
Тут вроде получше, получилось, чем под а)

Решал по методу Гаусса, собственно ступенчатый вид нашел уже под буквой а), принял [math]x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}[/math] за базисные, а [math]x_{5}[/math] и одна свободная осталась только [math]x_{5}[/math]. Получил фундаментальную систему решений:

[math]e=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ -\frac{ 1 }{ 2 } \\ 1 \end{pmatrix}[/math]

Как я понимаю, это и будет базис решений однородной системы, так как все другие решения, через него выражаются.

Осталось с буквой а) разобраться...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти базис линейной оболочки, и базис пространства решений
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 22:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а) Первые четыре строки исходной матрицы - базис.
Либо первые четыре строки приведенной к ступенчатому виду нетранспонированной.
б) верно

Для полного счастья в а) можно решить систему, которая транспонированная. Решение ее - это коэффициенты перед векторами в линейной зависимости. Обнаружить, что все они не нули и получить полный ответ - любые четыре строки исходной матрицы - базис линейной оболочки.


Последний раз редактировалось MihailM 24 фев 2021, 22:51, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
uiiiiiii
 Заголовок сообщения: Re: Найти базис линейной оболочки, и базис пространства решений
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 22:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня не получаются матрицы в сообщении 6. Для транспонированной исходной матрицы что-то похожее, возможно, ошибка в правом верхнем углу. А для нетранспонированной вообще не совпадает. Хотя ФСР найдена правильно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти базис и размерность линейной оболочки над векторами

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

randlog5765721

1

246

03 июн 2022, 21:10

Найти Базис и размерность линейной оболочки векторов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

OlegSuvorov

2

918

30 ноя 2016, 16:17

Размерность и базис линейной оболочки векторов строк

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

math123

2

563

25 дек 2021, 10:45

Может ли базис линейной оболочки состоять из трех векторов ?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ddaarryaa

4

248

09 янв 2021, 06:42

Найти базис и размерность пространства решений

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Tracerzzzzz

0

467

27 ноя 2014, 18:06

Найти все базисы линейной оболочки

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

brom

2

667

01 мар 2017, 00:36

Понятие линейной оболочки

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

DanyaRRRR

9

434

20 фев 2019, 23:58

Вероятность размерности линейной оболочки из m векторов

в форуме Теория вероятностей

Noobik21

1

353

25 май 2016, 08:48

Найти базис векторного пространства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

jeliza_rosa

1

358

24 май 2017, 07:02

Найти ортогональный базис пространства U

в форуме Геометрия

Melham

15

485

03 июл 2023, 10:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved