Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
uiiiiiii |
|
|
Дана матрица [math]A=\begin{pmatrix} 8 & 4 & -2 & -8 & 0 \\ -2 & -1 & 1 & -4 & -4 \\ 9 & 8 & -2 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & -1 & -2 & 1 \\ -3 & -2 & 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}[/math] а) Найти базис линейной оболочки строк матрицы [math]A[/math] б) Найти базис пространства решений системы [math]Ax=0[/math] С теорией по теме вроде разобрался, но как на практике с ней работать, вообще не понимаю. Вроде в задании все понятно, а с другой стороны, вообще не понятно... |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
uiiiiiii писал(а): С теорией по теме вроде разобрался, но как на практике с ней работать, вообще не понимаю Да тут традиционные трудности даже у хороших студентов. а) Надо транспонировать матрицу и методом Гаусса привести к треугольному (ну или что там получится) виду. б) Это фундаментальная система решений. Ее нахождение хорошо расписано почти во всех пособиях. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Не надо транспонировать. Приведите эту матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Это не меняет линейную оболочку строк. В ступенчатой матрице базис линейной оболочки состоит из всех ненулевых строк. Базис же пространства решений системы [math]Ax=0[/math] есть фундаментальная система решений (ФСР). Нужно определить свободные и зависимые переменные. Зависимые — это те, которые в ступенчатой матрице соответствуют столбцам с первым ненулевым значением в какой-то строке; остальные свободные. Присваиваете одной свободной переменной 1, остальным 0, и находите значения зависимых переменных. Так повторяете для каждой свободной переменной. Получившийся набор решений и есть ФСР.
Последний раз редактировалось 3D Homer 24 фев 2021, 20:20, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
del
|
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
3D Homer писал(а): Приведите эту матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Это не меняет линейную оболочку строк. В ступенчатой матрице базис линейной оболочки состоит из всех ненулевых строк. Так не интересно. Прикольнее отобрать базис из исходного множества строк. А если сразу (не транспонируя) приводить к ступенчатому виду, то порядок может поменяться. |
||
Вернуться к началу | ||
uiiiiiii |
|
|
Ну, вообщем я попробовал:
а) У меня получилось вот такая ступенчатая матрица (для транспонированной изначальной матрицы): [math]\begin{pmatrix} 4 & -1 & \frac{ 9 }{ 2 } & \frac{ 5 }{ 2 } & \frac{ 3 }{ 2 } \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 15 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math] И такая для нетранспонированной: [math]\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & -4 & 0 \\ 0 & 14 & 1 & 36 & 16 \\ 0 & 0 & 1 & -12 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math] (Просто я пока так и не понял, через какую делать правильно) И вот дальше я не совсем понимаю, как найти базис линейной оболочки строк отсюда... б) Тут вроде получше, получилось, чем под а) Решал по методу Гаусса, собственно ступенчатый вид нашел уже под буквой а), принял [math]x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}[/math] за базисные, а [math]x_{5}[/math] и одна свободная осталась только [math]x_{5}[/math]. Получил фундаментальную систему решений: [math]e=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ -\frac{ 1 }{ 2 } \\ 1 \end{pmatrix}[/math] Как я понимаю, это и будет базис решений однородной системы, так как все другие решения, через него выражаются. Осталось с буквой а) разобраться... |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
а) Первые четыре строки исходной матрицы - базис.
Либо первые четыре строки приведенной к ступенчатому виду нетранспонированной. б) верно Для полного счастья в а) можно решить систему, которая транспонированная. Решение ее - это коэффициенты перед векторами в линейной зависимости. Обнаружить, что все они не нули и получить полный ответ - любые четыре строки исходной матрицы - базис линейной оболочки. Последний раз редактировалось MihailM 24 фев 2021, 22:51, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали: uiiiiiii |
||
3D Homer |
|
|
У меня не получаются матрицы в сообщении 6. Для транспонированной исходной матрицы что-то похожее, возможно, ошибка в правом верхнем углу. А для нетранспонированной вообще не совпадает. Хотя ФСР найдена правильно.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |