Принцип вычисления собственного столбца

Здравствуйте!

Возникла следующая задача: определить собственные числа для матрицы [math]\begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]
Были получены собственные числа: 6, 0, 2
Но при подстановке нуля для определения собственных столбцов, образуется система из двух уравнений (т. к. третье целиком состоит из нулей, его убрали). И непонятно, как получить 3-ий элемент для данного столбца.
Не могли бы вы объяснить - как это сделать?
P. S. Ввел матрицу в Maple - В ответе получил столбец [math]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/math]. Не могли бы вы объяснить - каким образом было получено 1?

Заранее благодарен,
proggamer

В вашей матрице прибавим ко второй строке первую, умноженную на [math]\frac12[/math]. Получим
[math]\begin{pmatrix}-2&4&0\\0&3&0\end{pmatrix}[/math]
Это матрица в ступенчатом виде. Она соответствует следующей системе уравнений:
[math]\left\{\begin{aligned}-2x_1+4x_2&=0\\3x_2&=0\end{aligned}\right.[/math]
Даже если бы коэффициенты при [math]x_3[/math] не были равны нулю, видно, что [math]x_3[/math] -- свободная переменная, то есть ее можно положить равной любому значению. После этого [math]x_2[/math] однозначно определяется из второго уравнения, а [math]x_1[/math] -- из первого. Положим [math]x_3=1[/math]. Тогда из второго уравнения [math]x_2=0[/math] и из первого [math]x_1=0[/math]. Получили вектор [math](0,0,1)[/math]. Любой вектор решений будет получаться из него умножением на какое-то число.

Вам следует почитать в учебнике про общий вид решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Видимо, я недостаточно точно сформулировал свою мысль.
Я хотел спросить, почему Maple выбрал ИМЕННО 1 - обычно он пишет a, или lambda, или еще что-то подобное
Я знаю, что подходит любое решение, но то, что Maple был столь кокретен, вызывало у меня недоумение

Я не знаю Maple, но задача нахождения собственных векторов обычно подразумевает нахождение базиса собственного подпространства для данного собственного значения. Вектор (0, 0, 1) представляет собой такой базис. Возможно, если бы вы искали общее решение однородной системы с помощью других функций Maple, не связанных с собственными векторами, то решение было бы в виде, как вы пишете.