Найти базисы ядра и образа, ранг и дефект линейного оператор

Задача №1. В арифметическом пространстве [math]\mathbb{R}^4[/math] линейный оператор [math]\displaystyle \varphi[/math] задан матрицей

[math]A= \left(\!\!\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 1 & 3\\ -2 & 5 & 6 & -12 \\ 5 & 9 & 13 & 9 \\ -1 & 3 & 7 & -9 \end{array}\!\!\right)[/math]

Найти базисы ядра и образа, ранг и дефект линейного оператора. Найти операторы, индуцированныe в ядре и образе.

Решение.
1) По определению ядро линейного оператора [math]\displaystyle \varphi[/math] ([math]\displaystyle \ker \ \varphi[/math]) есть множество всех векторов [math]\displaystyle x[/math], которые [math]\displaystyle \varphi[/math] переводит в нулевой вектор. Это означает, что [math]\displaystyle \ker \ \varphi[/math] состоит из векторов, координаты которыx [math]\displaystyle x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4[/math] (в некотором базисе [math]\displaystyle \{ e_1, \ e_2, \ e_3, \ e_4 \}[/math]) удовлетворяет условию:

[math]\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3\\ -2 & 5 & 6 & -12 \\ 5 & 9 & 13 & 9 \\ -1 & 3 & 7 & -9 \end{pmatrix}\!\!\! \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\!=\! \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/math]. То есть, [math]\ker\varphi[/math] cooтветствует пространству [math]L[/math] решений системы [math]\begin{cases}x_1-2x_2+x_3+3x_4=0,\\ -2x_1+5x_2+6x_3-12x_4=0,\\ 5x_1+9x_2+13x_3+9x_4=0,\\ -x_1+3x_2+7x_3-9x_4=0.\end{cases}[/math]

Общим решением системы является семейство векторов [math]\left(-\frac{15}{4}C , \ 0, \ \frac{3}{4}C, \ C \right)[/math]. Полагая [math]C=4[/math], находим базис [math]\ker \varphi[/math]: [math](-15,\,0,\,3,\,4)[/math].

2) Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра ([math]\dim \ \ker \ \varphi[/math]). Здесь [math]\dim \ \ker \ \varphi=1[/math], т.к. в ядре существует лишь один линейно независимый вектор.

Верны ли мои рассуждения?

3) Не знаю, как найти образ линейного отображения [math]\varphi[/math] ([math]im \ \varphi[/math]). Подскажите идею.

4) Рангом линейного отображения [math]\varphi[/math] называется размерность его образа ([math]\dim \ im \ \varphi[/math]). Здесь всё ясно.

5) Что такое операторы, индуцированные в ядре и образе?

Задача №2. Найти матрицу, область значений и ядро оператора [math]A[/math] проектирования на плоскость [math]x-z=0[/math]. Если [math]x=\{x_1, \ x_2, \ x_3 \}[/math], то [math]Ax=\{x_1-x_2-x_3, \ -2x_1+3x_2, \ x_2- x_3 \}[/math].

1) Cовершенно не знаю, как найти матрицу. И что означает проектирование на плоскость?

2) Если найду матрицу, то можно найти ядро.

3) Область значений - это синоним образа или что-то другое?

И ещё один вопрос общего характера. Существует ли какое-то обозначение для базиса линейного пространства (как, например, для ядра или размерности)?

1. Образ оператора или множество его значений можно представить как множество линейных комбинаций столбцов матрицы (это линейная оболочка столбцов). Действительно,
[math]Ax = x_1 A^{\left( 1 \right)} + x_2 A^{\left( 2 \right)} + x_3 A^{\left( 3 \right)} + x_4 A^{\left( 4 \right)}[/math]
где [math]A^{\left( k \right)}[/math] - [math]k[/math] –ый столбец матрицы.
Ранг матрицы равен 3. Поэтому размерность образа равна 3. Из этих четырёх столбцов надо выбрать 3 линейно независимых. В качестве таковых можно взять 3 первых.
Что такое операторы, индуцированные в ядре и образе? Полагаю, что это сужение оператора на эти подпространства. Ядро – одномерное подпространство. Линейный оператор в одномерном пространстве есть умножение на число (очевидно, что это число 0).
Разберёмся с образом. Мы уже выбрали базис – первые три столбца. Но можно взять любой другой, полученный из этого с помощью линейных комбинаций. Например, можно получить
[math]e_1 =\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} } \right), e_2 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\0 \\ \end{array} } \right), e_3 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)[/math]
Эти векторы возьмём в качестве базиса образа. Осталось найти матрицу, которая соответствует оператору А в этом базисе. Для этого надо подействовать оператором А на базисные векторы и ответы разложить по базису [math]E = \left\{ {e_1 ,e_2 ,e_3 } \right\}[/math]. Получим
[math]Ae_1 = 4e_1 + 14e_2 - 14e_3[/math]
[math]Ae_2 = e_1 + 13e_2 + 6 e_3[/math]
[math]Ae_1 = e_1 + 18e_2 - 7 e_3[/math]
Тогда матрица [math]A_I[/math] , соответствующая сужению оператору А на образ, в базисе [math]E=\left\{ {e_1 ,e_2 ,e_3 } \right\}[/math] имеет вид
[math]A_I = \left( {\begin{array}{*{20}c} 4 & 1 & 1 \\ {14} & {13} & {18} \\{ - 14} & 6 & { - 7} \\ \end{array} } \right)[/math]

2. Не понятно, что такое [math]Ax[/math] в условии. Дело в том, что этот вектор не принадлежит плоскости [math]x-z=0[/math]. Правильно ли написано условие? И ещё, какое проектирование? Эта задача из раздела, где уже рассказано о скалярном произведении?

3. Базис это множество. Поэтому часто его и записывают как множество. Например, [math]E = \left\{ {e_1 ,e_2 ,e_3 } \right\}.[/math]

Prokop, большое спасибо!
С образом линейного оператора я уже разобрался.



А почему?



Prokop, [math]A[/math] - это оператор, а [math]Ax[/math] - образ вектора [math]x[/math] при действии оператора [math]A[/math]. Такое вот неудачное обозначение. Условие записано мной правильно. Но есть стойкое ощущение, что условие задачи некорректно (кроме того, задача из контрольной, а не из учебника; ответ мне также неизвестен). Вот её полный текст:



Убрав слова проектирования на плоскость [math]x-z=0[/math], я решил задачу. Никаких проблем не возникло.

О скалярном произведении известно, т.к. была (формально) тема "Евклидовы пространства". Видимо, придётся выяснять истинный смысл условия задачи у нашего преподавателя...

В предыдущем предложении речь шла о ядре оператора.