Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 17 фев 2023, 18:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ютуб подсунул ролик со следующей задачей (предлагалась в качестве вступительной для поступающих в 8-й класс с профильной математикой 179-й школы Москвы).

У нас есть чашечные весы без гирь и 99 монет, расположенных в ряд. Известно, что среди этих монет 74 настоящие (которые весят одинаково) и 25 фальшивых (которые весят меньше настоящих). Причём все фальшивые монеты расположены подряд в общем ряду. За какое минимальное число взвешиваний мы можем гарантировано найти хотя бы одну фальшивую монету?

Вторая версия той же задачи, но у нас всего 100 монет, из которых 75 настоящих.

Надо не только указать способ, но и доказать, что он минимален.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 17 фев 2023, 20:07 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 янв 2023, 04:15
Сообщений: 376
Откуда: Всеволожск, Колтушское шоссе, д.20, корпус 4
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
В 1 случае за 1 взвешивание можно
Во 2 за 2, но не знаю пока как доказать, что за 1 нельзя

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 17 фев 2023, 20:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
YchenikMonaxa писал(а):
В 1 случае за 1 взвешивание можно
Во 2 за 2

Правильно.
YchenikMonaxa писал(а):
Во 2 за 2, но не знаю пока как доказать, что за 1 нельзя

Вот это самое трудное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 17 фев 2023, 20:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
YchenikMonaxa писал(а):
searcher
В 1 случае за 1 взвешивание можно

Это как?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 17 фев 2023, 20:50 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 янв 2023, 04:15
Сообщений: 376
Откуда: Всеволожск, Колтушское шоссе, д.20, корпус 4
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ivashenko
Взвесить 25 и 50 монеты, если одна меньше, то она фальшивая, если равны, то фальшивая 75

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю YchenikMonaxa "Спасибо" сказали:
ivashenko
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 17 фев 2023, 21:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, действительно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 17 фев 2023, 22:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
28 мар 2014, 23:59
Сообщений: 6312
Cпасибо сказано: 633
Спасибо получено:
509 раз в 477 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При 100 монетах как и в первом случае всегда могут попасться одинсковые монеты, какие бы мы монеты ни взяли. Если мы возьмем монеты с расстоянием ближе чем 26, то могут попасться как разные монеты( и этот случай неинтересен) так и одинаковые фальшивые или одинаковые настоящие и, соответственно нам придется делать дополнительное взвешивание, чтобы определить фальшивые они или настоящие, поэтому имеет смысл рассматривать только монеты расстояние между которыми не менее 26. Но если мы возьмем монеты расстояние между которыми не менее 26, при этом могут попасться либо фальшивая и настоящая, либо обе настоящие. Первый случай удовлетворяет условию отыскания фальшивки в 1 ход, поэтому его опустим. Остается случай, когда мы выбираем монеты на расстоянии не менее 26 и обе они настоящие. Если мы возьмем интервал более 26 монет, так, что левее и правее от этих монет останется не более чем по 24 монеты, то фальшивые монеты окажутся внутри этого интервала среди не менее чем 52-х монет для выявления фальшивой среди них понадобится доп взвешивание. Если по краям интервала более чем из 26 монет оставим не менее 25 монет, то фальшивые могут оказаться как внутри, так и снаружи этого интервала и нам обязательно понадобятся взвешивания, чтобы определить где находятся эти монеты. Поэтому необходимо рассматривать только случай, когда берется ровно 26 монет подряд и взвешиваются крайние из них. Только в этом случае мы можем допустить нахождение фальшивой монеты в 1 взвешивание. Теперь мы берем 26 монет подряд так, что левая из них будет правее 25 монеты, а правая левее 76. Фальшивые могут оказаться как справа от этих 26 монет так и слева и для их выявления понадобится взвешивание. Поэтому, чтобы дополнительного взвешивания не потребовалось нам необходимо расположить наши 26 настоящих монет так, чтобы с одной стороны от них оказалось менее 25 монет. Т.е. оказалось 0-24 монеты, соответственно фальшивые монеты окажутся с другой стороны среди 50-74 оставшихся монет. Минимум 50 со второй стороны, среди которых мы не можем однозначно определить фальшивые без доп взвешивание. Вот если бы со второй стороны было не 50, а 49(т.е. всего 99 монет), то мы могли бы сказать, что средняя из них фальшивая. А так всегда потребуется доп взвешивание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю ivashenko "Спасибо" сказали:
3axap
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 18 фев 2023, 13:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
YchenikMonaxa писал(а):
Во 2 за 2, но не знаю пока как доказать, что за 1 нельзя

Вот это самое трудное.

Это невозможно сделать. Если во втором случае откинуть одну монету скраю, и она с большей вероятностью окажется настоящей, тогда получится первый случай, который решается за одно взвешивание. Значит, минимально одно взвешивание возможно, и нельзя ни опровергнуть, ни доказать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 18 фев 2023, 13:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 6756
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 994
Спасибо получено:
492 раз в 461 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вообще, по-моему, задача сводится к следующему: всегда отбросим с обоих краёв ряда по 24 монеты. В первом случае останется 51 монета, во втором 52 монеты, среди которых, по крайней мере, одна фальшивая с интервалом 25.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательная задача про взвешивание монет
СообщениеДобавлено: 18 фев 2023, 14:08 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 янв 2023, 04:15
Сообщений: 376
Откуда: Всеволожск, Колтушское шоссе, д.20, корпус 4
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
15 раз в 15 сообщениях
Очков репутации: 13

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap
Ты таблетки принять забыл? Санитаров позвать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.  Страница 1 из 6 [ Сообщений: 56 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Занимательная задача по геометрии

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Buratino

30

1040

26 фев 2022, 23:43

Занимательная стереометрических задача

в форуме Геометрия

Lechka

9

288

23 окт 2022, 11:34

Занимательная задача про переустановку колес

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Buratino

3

305

20 фев 2022, 10:34

Занимательная задача на объём цилиндра

в форуме Геометрия

axelluch

2

110

16 май 2023, 17:11

Акция на распродаже. Занимательная задача для детей

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

FEBUS

6

432

06 июл 2018, 02:21

Размен монет

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Marii55

5

234

01 апр 2020, 18:47

Наименьшее количество монет в кучке

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

1

297

15 авг 2017, 16:22

Формула расчета распределение монет для пользователей

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

vanea84

2

6317

06 мар 2015, 22:08

Занимательная математика

в форуме Алгебра

vvd

13

714

04 май 2015, 02:25

Занимательная головоломка

в форуме Объявления участников Форума

Elia

8

309

10 сен 2019, 12:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved