Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что функция инъективная
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2021, 23:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 сен 2019, 10:15
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать, что функция инъективная
[math]y=\lg (x+\sqrt{x^{2} +1})[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция инъективная
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2021, 00:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
производную найдите

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция инъективная
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2021, 00:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
25 сен 2019, 10:15
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если найти производную, то что дальше нужно делать (никогда раньше не сталкивался с инъективными функциями) ???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция инъективная
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2021, 00:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
без если
MihailM писал(а):
производную найдите

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция инъективная
СообщениеДобавлено: 26 ноя 2021, 12:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2657
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
538 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А нельзя прикинуть без производной? Я нарисовал график функции [math]f=x+\sqrt{x^{2}+1 }[/math] и убедился в том, что для любого x эта функция (а, значит, и логарифм от неё) принимает единственное значение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция инъективная
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2021, 03:18 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 окт 2018, 20:37
Сообщений: 25
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 5

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На мой взгляд, производную искать не обязательно. Ещё в старших классах школы доказывается возрастание, непрерывность и гладкость функций [math]f(x)=x[/math] и [math]g(x)=\sqrt{x}[/math] (при положительном аргументе), и [math]h(x)=\lg x[/math].
Ссылайтесь как на доказанные факты¹.

Сумма непрерывных монотонных функций есть непрерывная монотонная функция. Можете это доказать.

Аргумент функции [math]\lg (x+\sqrt x)[/math] непрерывно монотонен, поэтому и функция непрерывно монотонна.

Любая монотонная непрерывная функция [math]f(x)[/math] имеет¹ обратную функцию [math]f^{-1}(x)[/math]

¹ — Но вы должны уметь передоказывать эти факты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что функция инъективная
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2021, 02:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):
Я нарисовал график функции [math]f=x+\sqrt{x^{2}+1 }[/math] и убедился в том, что для любого x эта функция (а, значит, и логарифм от неё) принимает единственное значение.
Любая функция от [math]x[/math] принимает единственное значение для любого [math]x[/math]. Кроме того, как график помогает написанию доказательства?

Daniel_T писал(а):
Аргумент функции [math]\lg (x+\sqrt x)[/math] непрерывно монотонен, поэтому и функция непрерывно монотонна.
Но в задаче рассматривалась другая функция. Также непрерывность не нужна для инъективности, достаточно строгой монотонности.

Daniel_T писал(а):
Любая монотонная непрерывная функция [math]f(x)[/math] имеет обратную функцию [math]f^{-1}(x)[/math]
Да, на подмножестве области значений [math]f[/math]. Однако разговор об обратной функции также не нужен для доказательства инъективности.

Не совсем очевидным является монотонность [math]x+\sqrt{x^2+1}[/math] при [math]x<0[/math]. Возможно, это действительно проще всего доказывается взятием производной.

spi2207 писал(а):
никогда раньше не сталкивался с инъективными функциями
Неразумно приступать к решению задачи, не познакомившись с основными фактами о соответствующих понятиях и не рассмотрев несколько примеров решения аналогичных задач в учебнике.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать что функция мультипликативна

в форуме Теория чисел

Ibrokhim25Z2B5DI47

12

576

30 авг 2020, 20:50

Доказать что функция чётная

в форуме Алгебра

kempeributAmd

3

240

07 окт 2019, 19:15

Доказать что функция интегрируема

в форуме Интегральное исчисление

Val193

5

409

29 дек 2017, 21:00

Доказать, что функция является метрикой

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_balatskiy

1

1110

09 апр 2016, 02:57

Доказать,что функция удовлетворяет соотношению

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

3

755

16 апр 2015, 21:58

Доказать ,что функция при возрастании будет ..

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anhelius

2

105

09 ноя 2021, 02:04

Доказать, что функция НЕ дифференцируема в точке

в форуме Дифференциальное исчисление

KeyLimTok

1

197

09 сен 2023, 17:28

Доказать,что функция удовлетворяет соотношению

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

1

620

25 мар 2015, 19:17

Доказать, что функция f(x) непрерывна в точке x0

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ilya_dobr

3

352

29 фев 2020, 11:51

Доказать, что функция не является нормой

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

CockSucker

1

3401

18 окт 2019, 13:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved