Вопрос по вероятности

Пусть n людей между которыми присутствуют А и В, выстраиваются в ряд в произвольном порядке. Какова вероятность того, что между А и В станет ровно r людей. У меня есть решение, но оно неверное, подскажите где ошибся.
Всего возможно [math]\boldsymbol{n} ![/math] исходов, это знаменатель. [math]\boldsymbol{A}[/math] можно поставить [math]\boldsymbol{n}[/math] способами, [math]\boldsymbol{r}[/math] человек из [math]\boldsymbol{n}[/math] выбираем так: С из [math]\boldsymbol{n} -2[/math] по [math]\boldsymbol{r}[/math]( не нашел формулу комбинации здесь, пишу так) ,затем стоит [math]\boldsymbol{B}[/math] , а в завершении (n-r-2) можно расставить в ряд (n-r-2)! способами, это числитель. Упростив получаем [math]\boldsymbol{P} = \frac{ 1 }{ \boldsymbol{r} !( \boldsymbol{n} -1) }[/math]

0) Понятно, что [math]n[/math] людей можно расстать между собой всего [math]n![/math] способом;

1) Кроме A и B, остают еще [math]n-2[/math] человеком;

2) Из них [math]r[/math] можно выбрать всего [math]C_{n-2}^{r} = \frac{ \left( n-2 \right)! }{ r!\left( n-r-2 \right) }[/math] способом;

3) От двух сторон каждой такой выбор( из 2)) A и B можно расставить 2 способом;

4) Эти [math]r[/math] людей можно расставить между собой всего [math]r![/math] способом;

5) Каждая такая группа из [math]r[/math] людей + [math]A[/math] и [math]B[/math] , вместе с остальных
[math]n-r-2[/math] людей можно расстать между собой всего [math]\left[ \left( n-r-2 \right) +1 \right]! = \left( n-r-1 \right)![/math] способом;

6) Тогда [math]P= \frac{ 2 \cdot C_{n-2}^{r} \cdot r! \cdot \left( n-r-1 \right)! }{ n! }= \frac{ 2 \cdot \left( n-2 \right)! r!\left( n-r-1 \right)! }{ r!(n-r-2)!n! } =\frac{ 2 \cdot \left( n-r-1 \right) }{ \left( n-1 \right) \cdot n }[/math] ;

7.1)Для [math]n= 2,r=0[/math] получаем [math]P= \frac{ 2 \cdot \left( 2-0-1 \right) }{ \left( 2-1 \right) \cdot 2 } =1[/math] ;

7.2)Для [math]n= 3,r=0[/math] получаем [math]P= \frac{ 2 \cdot \left( 3-0-1 \right) }{ \left( 3-1 \right) \cdot 3 } =\frac{ 2 }{ 3 }[/math] ;

7.3)Для [math]n= 3,r=1[/math] получаем [math]P= \frac{ 2 \cdot \left( 3-1-1 \right) }{ \left( 3-1 \right) \cdot 3 } =\frac{ 1 }{ 3 }[/math] ;

7.4)Для [math]n= 4,r=0[/math] получаем [math]P= \frac{ 2 \cdot \left( 4-0-1 \right) }{ \left( 4-1 \right) \cdot 4 } =\frac{ 1 }{ 2 }[/math] ;

7.5)Для [math]n= 4,r=1[/math] получаем [math]P= \frac{ 2 \cdot \left( 4-1-1 \right) }{ \left( 4-1 \right) \cdot 4 } =\frac{ 1 }{ 3 }[/math] ;

7.6)Для [math]n= 4,r=2[/math] получаем [math]P= \frac{ 2 \cdot \left( 4-2-1 \right) }{ \left( 4-1 \right) \cdot 4 } =\frac{ 1 }{ 6 }[/math] ;

и т.д.

ТС должен был не полениться, и прежде чем обратится к форуму, поискать ответ в инете. Тогда бы он нашёл, что задача из старого , но солидного, учебника. Нашёл бы разные рассуждения приводящие к одному и тому же ответу.
Мог бы посмотреть , например,здесь
https://math.stackexchange.com/question ... -probablit