Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Всем привет.
Я пытаюсь изучить решение тригонометрических уравнений , и что то у меня очень тяжело это получается.
Кто может научите/подскажите пожалуйста.

Пример есть уравнение [math]\sin^2{4x}[/math] - [math]\cos{4x} +1=0[/math]

Возник вопрос , я правильно понимаю. Решить это уравнение можно двумя способами
1.Через тригонометрическую окружность
2. При помощи тригонометрических формул

Я правильно понимаю?

Перед началом решения отвечаем на вопросы:
1. Сколько различных функций содержит уравнение?
2. Сколько разных аргументов?
3. Сколько разных степеней?
4. Является ли линейным?
В идеале при помощи формул хотелось бы получить:
а) одна функция, один аргумент, несколько степеней. Заменив тригонометрическую функцию на новую переменную, получаем уравнение с многочленом (квадратное, кубическое и т.д.). Помним об области значений.
б) две функции, один аргумент, первая степень. Введя вспомогательный угол, получим одно из стандартных уравнений.
в) две функции, один аргумент, высшие степени. Проверяем, не является ли уравнение однородным.

Тригонометрическая окружность - в самом конце, после упрощения исходного уравнения.

В приведенном выше примере после замены синуса на косинус (тригонометрическая единица) получим случай а)

Любое тригонометрическое уравнение в конечном итоге приводится к виду [math]\sin x=a[/math], [math]\cos x=a[/math] или [math]tg x=a[/math], которые и решаются через тригонометрическую окружность.
Чтобы привести их к вышеуказанным формам используются уже тригонометрические или алгебраические преобразования.
В Вашем случае сначала надо преобразовать с помощью тригонометрических формул к виду с какой-то одной тригонометрической функцией (у Вас их сейчас две - синус и косинус). Дальше в игру вступает алгебра, когда после замены оставшейся одной тригонометрической функции на простую новую переменную возникает квадратное уравнение...

1) привести все тригонометрические функции к одинаковому аргуенту (в примере они уже имеют одинаковый аргумент)
2) обозначить [math]\cos{(Argument)}[/math] через y, тогда прочие функции выражаются через y; в вашем примере [math]\cos{(4x)}=y; \quad \sin^2{(4x)}=1-y^2,[/math] тогда [math]1-y^2-y+1=0.[/math] Находите корни алгебраического уравнения [math]\left( y_1, y_2 \right),[/math] тогда [math]4x=\arccos{(y_{1,2} )}[/math]

При решении тригонометрических уравненй часто используются некоторые формулы тригонометрических преобразований. Их под сотню, очень много. Все их выучить нереально, но надо ознакомиться со всеми и знать, что такие существуют. Тогда, когда увидите задачу, довольно быстро сообразите, какие из них можно попробовать использовать.

Начните с формулы "Основное тригонометрическое тождество": (sinx)^2 + (cosx)^2 = 1
Через неё вы сможете заменять синус на косинус или наоборот.

Потом рассмотрите формулы двойного и половинного угла. Суммы и произведения синусов и косинусов. И т.д..

TsaAst,
Есть саммые простые тригонометрические у-ния типа :
[math]1)\sin{x} =a;\cos{x} =a;\operatorname{tg}{x}=a;\operatorname{ctg}{x} =a[/math] ;
[math]2)\sin{\left( f(x) \right) } =a;\cos{\left( f(x) \right)} =a;\operatorname{tg}{\left( f(x) \right)}=a;\operatorname{ctg}{\left( f(x) \right)} =a[/math] ;
пример : [math]\cos{\left( 2x^2+15 \right) } =\frac{ \sqrt{2} }{ 2 }[/math];
[math]3)\sin{\left( f(x) \right) } =\sin{\left( g(x) \right) };\cos{\left( f(x) \right)} =\cos{\left( g(x) \right)};\operatorname{tg}{\left( f(x) \right)}=\operatorname{tg}{\left( g(x) \right)};\operatorname{ctg}{\left( f(x) \right)} =\operatorname{ctg}{\left( g(x) \right)}[/math] ;
например : [math]\operatorname{ctg}{\left( 3x-1 \right) }=\operatorname{ctg}{\left( 2x+1 \right) }[/math];

По моему Вы надо сначало начать с их изучения, а потом перейти к более сложные типов, потом с изучение
системмые из тригонометрические у-ния и уравнения с обратных тригонометрических функции, каторые с методической
точки зрения являются более сложные.
Рекомендую вам эту книжку для ползувания :
https://www.koob.ru/borodulya_it/trigon ... _neravenst

А вот, кстати, и тригонометрическое уравнение. По определению.
Тема была здесь совсем недавно https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=29&t=79964
Можно решать и учиться...

Пример из практики. (Он предлагался к рассмотрению в одной из моих тем.)
Тригонометрическая система, которая сводится к алгебраической.

one man
Странный пример. Похоже, с опечатками. В предложенном виде к алгебраической системе вряд ли сводим.
Какой смысл в знаменателях второго и третьего уравнений?

Никакого. Это не моя задача, просто я её решал. Система представлена в оригинальном виде.

Вы очень сильно заблуждаетесь.