Место встречи

Вступление
Предлагаемая задача – замаскированная версия задачи одного участника форума, которая мне показалась интересной и поучительной. Ремейк своего рода. Ссылку на автора и тему дам позднее, если кто не опередит.
В теме приведены простенькие формулы для расчета, но их вывод не показан.
Задача имеет школьное решение, при этом приветствуются любые ответы (с помощью матпакетов, чат-ботов с ИИ, с инверсией и т.д.).

Задача
На плоской равнине в поселках A, B и C живут три товарища, которые любят быстрые пешие прогулки.
Расстояния между поселком A и поселками B и C равны 6 и 11 км соответственно.
Пешеход из поселка A движется со скоростью 6,1 км/ч, из поселка B - 6 км/ч, из поселка C - 5,9 км/ч.
Однажды товарищи договорились встретиться в месте M равнины таком, что при одновременном выходе из поселков, двигаясь по кратчайшему (прямолинейному) пути, они приходят в M также одновременно.
Выяснилось, что на равнине есть только одно такое место.

Попробуйте ответить на два вопроса:
1 Какое может быть расстояние между поселками B и C?
2 Как долго продлится прогулка?

Не стал думать о задаче-прородителе этой задачи, а просто стал решать эту. Тут, действительно, довольно просто решается с двумя окружностями Аполлония. Решается полностью вручную, матпакеты не нужны, и проверяется Геогеброй.
К сожалению, числа в условии заданы очень неудобные для рисунка - плохо видно. Также непонятно, почему написано "есть только одно такое место", ведь имеется ввиду, что для "одного" места эти две окружности Аполлония должны касаться. А касаться он могут как внешне (рис.1), так и внутренне (рис.2), так что получается, что есть два решения (и ещё два симметричных этим двум по прямой АС).



Лиловая окружность Аполлония строится на синем отрезке АС, поделённом лиловой точкой в пропорции скоростей 6,1 и 5.9 (Рис. 3.).
Бурая - на зелёном отрезке АВ, поделённом бурой точкой в пропорции скоростей 6,1 и 6.
Радиусы окружностей вычисляются по известной формуле:

R = AB∙k/(k^2 - 1)

Из огромного серого треугольника AFG, у которого все три стороны, после вычисления радиусов окружностей Аполлония, стали известны, по теореме косинусов находим косинусы его углов α и ß. С помощью этих косинусов, опять по теореме косинусов, находим длины искомых отрезков BC = 16.6229 км и AX = 38.872 км. Искомое время
t= AX/V_A = 38.872/6.1 = 6.37 часа.



Для второго решения получилось:
BC = 5.0164 км, АХ = 97.718 км и время t = 16.02 часа.

При длинах 17 > BC > 16.6229 км окружности Аполония лежат порознь и не пересекаются.
При длинах 16.6229 > BC > 5.0164 км окружности имеют две точки пересечения.
При длинах 5.0164 > BC > 5 км лиловая окружность лежит полностью внутри бурой и они не пересекаются.

Все формулы честно выведены и имеются. Писать в Латексе облом.

--------------------------------
Раз автор полагает, что "есть только одно такое место", то надо было назвать "Место встречи изменить нельзя".

Наверное я что-то не понял в этой задаче.
Как мне кажется, нашёл точку М, в которую товарищи придут одновременно и за МИНИМАЛЬНОЕ время
T=0,9167 часа. Лежит на отрезке AC=11 км (AM= 5,592 км. МС=5,408 км), ВМ=5,500 км.
При этом угол А= 56,55 угл.град., ВС=9,178 км.

Наверное, вы, действительно, не правильно поняли условие. Эта ваша точка M будет не единственная. А там написано: "на равнине есть только одно такое место". При этом минимальность времени не требуется. То, что вы "нашли" - это когда моя бурая окружность Аполлония пересекала бы лиловую окружность Аполлония в той точке, где лиловая пересекает отрезок АС. И при этом эти окружности пересеклись бы еще в одной другой точке. А надо, чтобы больше нигде.

В задаче кроме заданных численных величин есть две неопределённые , но взаимосвязанные.
Время в пути [math]\mathsf{t}[/math] и углы , которые образует [math]\vec{ \mathsf{A} \mathsf{M} }[/math] со сторонами [math]\mathsf{A} \mathsf{B}[/math] и [math]\mathsf{A} \mathsf{C}[/math] (их сумма равна углу [math]\mathsf{A}[/math] ). Если задать [math]\mathsf{t}[/math], то положение точки [math]\mathsf{M}[/math] определяется однозначно.

Нет сомнения, что ваша точка М определена однозначно. Но, как я лично понимаю, фраза "на равнине есть только одно такое место" означает не то, что точка М может быть нарисована определённо, а то, что при таком расположении городов, какое получается при правильном решении, существует только одна такая точка М, в которую можно прийти одновременно. А при вашем решении, существует ещё вторая точка М2, в которую можно прийти одновременно (см. рисунок revos).



Я всё-таки думаю, что Li6-D имел ввиду моё понимание, ибо зачем тогда он так старательно топил за окружность Аполлония? А ваше решение делается за одну минуту и без всяких там Аполлониев и Аполлинариев.
И единственность решения (точки М) имелось ввиду, что имеет место касание окружностей Аполлония (вместо пересечения), а не расположение точки М на прямой АС, при котором нету зеркального отражения М от прямой АС.

П.С. Мне всё-таки не понятна фраза Li6-D "Расстояния должны получаться рациональными, времена – иррациональными". Если скорости V и расстояния S рациональные, а t = S/V, то как на свете t может стать ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ?

В 1-ом приложенном файле записана система двух расчётных уравнений. во 2-ом её анализ с помощью MathCad.
Из графика зависимости [math]\angle \mathsf{A}[/math] от времени встречи [math]\mathsf{t}[/math] следует, что [math]\mathsf{t}[/math] может лежать в интервале [math]\mathsf{T} _{ \mathsf{m} \mathsf{i} \mathsf{n} }=0.916667 (hour) \leqslant \mathsf{t} \leqslant \mathsf{T} _{ \mathsf{m} \mathsf{a} \mathsf{x} }=55.000 (hour)[/math].
Если проводить горизонтальные прямые, соответствующие значениям [math]\angle \mathsf{A}[/math] , то
для [math]\mathsf{A} \left( \mathsf{T} _{ \mathsf{m} \mathsf{i} \mathsf{n} } \right)=0.9873 (rad)=56.56^{\circ} \leqslant \mathsf{A} \left( \mathsf{t} \right) < \mathsf{A} \left( \mathsf{T} _{ \mathsf{o} } = 6.63688 (hour) \right) =2.699733 (rad)=154.68^{\circ}[/math] , они будут пересекать график в двух точках. Это означает, что для этих значений [math]\angle \mathsf{A}[/math] имеется два подходящих времени встречи, а , значит, и две точки встречи.
Время [math]\mathsf{T} _{0}[/math] и значение [math]\mathsf{A} \left( \mathsf{T} _{0} \right)= \alpha 1\left( \mathsf{T} _{0} \right) + \alpha 2\left( \mathsf{T} _{0} \right)[/math] соответствует единственной точке встречи.
Также имеется единственная точка, если [math]\mathsf{T} _{1}=50.206 (hour) \leqslant \mathsf{t} \leqslant \mathsf{T} _{ } \mathsf{m} \mathsf{a} \mathsf{x}[/math] при этом
[math]0.407549 (rad)= 23.35^{\circ}\leqslant \mathsf{A} \left( \mathsf{t} \right) \leqslant 0.98728 \left( rad \right)= 56.56^{\circ}[/math] .

.

.